Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

45
()
1
()
1
()
,
i
k
i
i
i
k
t
A
N
N
p
kA
t
KdR
t
+
−
+λ
=−
ϕτ
ϕ= τ+
τ−
∑
∫
(2.3.5)
где
[]
[
]
[]
11
1
12
() при ,, 1,,1;
()
() при ,,
k
jjj
nkk
N
nnn j j
Pttkjjj
Ptt
−+
+
++ − +
⎧
ϕτ τ∈ ≠ − +
⎪
ϕτ=
⎨
⎡
⎤
ϕτ τ∈
⎪
⎣
⎦
⎩
[]
n
P ϕ – оператор проектирования на множество интерполяцион-
ных полиномов степени
n по узлам многочленов Чебышева I рода
степени 1.n
+
Построение таких операторов описано в [23].
Пусть
[]
[
]
1, 1 1, 1 .
ii ii
tA A AA∈− − − + − +U Тогда интеграл Кϕ бу-
дем вычислять по квадратурной формуле
()
()
1
()
2
1
()
,
i
k
i
i
i
k
t
A
N
iN
p
kA
t
KdR
t
+
−
+λ
=− +
ϕτ
ρψ = τ+
τ−
∑
∫
(2.3.6)
где
()
(
)
()
k
Nn
Pϕτ= ϕτ при
[
]
1
,.
rk
tt
+
∈
τ
Теорема 2.3.3. Погрешность квадратурных формул (2.3.5)–(2.3.6),
предназначенных для вычисления интеграла Адамара (2.3.1) при
()
00,ϕ=
0s
=
на классе (1), 1, 2, 3
i
r
Wi
ρ
= , равна ln .
rp
N
R
AN N
−+ +λ
=
При
(
][ ][
)
() ()
1
,, , 1 1,1 1,,
ii
iiii
j
j
ttt t A A A A
+
⎡⎤
∈ ∈−∞−− −+ − +∞
⎣⎦
UU
интеграл Gϕ будем вычислять по квадратурной формуле
()
()
()
1
()
1
()
,
i
k
i
i
i
k
t
A
N
iN
p
kA
t
GdR
t
+
−
=−
ϕτ
ρψ = τ+
τ−
∑
∫
(2.3.7)
где
[]
[
]
[]
11
1
12
() при ,, 1,,1;
()
() при ,.
k
jjj
nkk
N
nnn j j
Pttkjjj
Ptt
−+
+
++ − +
⎧
ϕτ τ∈ ≠ − +
⎪
ϕτ=
⎨
⎡⎤
ϕτ τ∈
⎪
⎣⎦
⎩
                                                        (i )
                                                 Ai −1 tk +1
                                                                 ϕ N (τ)
                                    Kϕ =         ∑ ∫            τ−t
                                                                        p +λ
                                                                               d τ + RN ,          (2.3.5)
                                             k =− Ai t ( i )
                                                      k

               ⎧ Pnk [ ϕ(τ) ] при τ∈ [tk , tk +1 ] , k ≠ j − 1, j , j + 1;
               ⎪
где ϕ N ( τ) = ⎨
                   P
               ⎩⎪ n j −1 + n j + n j +1
                                        [ϕ(τ)] при τ∈ ⎡⎣t j −1, t j + 2 ⎤⎦ ,
   Pn [ ϕ] – оператор проектирования на множество интерполяцион-
ных полиномов степени n по узлам многочленов Чебышева I рода
степени n + 1. Построение таких операторов описано в [23].
   Пусть t ∈ [ − Ai − 1, − Ai + 1] U [ Ai − 1, Ai + 1]. Тогда интеграл К ϕ бу-
дем вычислять по квадратурной формуле
                                                             (i )
                                                     Ai − 2 tk +1
                                                                        ϕ N (τ)
                               K ( ρi ψ ) =          ∑ ∫                τ−t
                                                                               p +λ
                                                                                      d τ + RN ,   (2.3.6)
                                                  k =− Ai +1 t ( i )
                                                                k


где ϕ N ( τ) = Pnk ( ϕ ( τ ) ) при τ ∈ [tr , tk +1 ].
    Теорема 2.3.3. Погрешность квадратурных формул (2.3.5)–(2.3.6),
предназначенных для вычисления интеграла Адамара (2.3.1) при
ϕ( 0) = 0, s = 0 на классе Wρr (1), i = 1, 2,3 , равна RN = AN − r + p +λ ln N .
                                             i



    При        t ∈ ⎡t (ji ) , t (ji+)1 ⎤ ,   t ∈ ( −∞, − Ai − 1] U [ − Ai + 1, Ai − 1] U [ Ai + 1, ∞ ) ,
                   ⎣                   ⎦
интеграл Gϕ будем вычислять по квадратурной формуле
                                                               (i )
                                                        Ai −1 tk +1
                                                                        ϕ ( τ)
                                    G ( ρi ψ ) =        ∑ ∫ τ N− t p d τ + RN ,                    (2.3.7)
                                                      k =− A t (  )
                                                                 (i )
                                                               i k


               ⎧ Pnk [ ϕ(τ) ] при τ∈ [tk , tk +1 ] , k ≠ j − 1, j , j + 1;
               ⎪
где ϕ N ( τ) = ⎨
               ⎪⎩ Pn j−1 + n j + n j +1 [ ϕ(τ) ] при τ∈ ⎡⎣t j −1 , t j + 2 ⎤⎦ .



                                                           45

Страницы