Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

47
(
)
(
)
,2 ,1
,1 ,
1
,1 , 2 , ,1
2
() , , () , ,
ii
i
js jl
j
ii
js jl
ii ii
tt
m
i r js js i r jl jl
pp
ls
tt
Ptt Ptt
dd
tt
++
−
−
−+ +
+λ +λ
=+
⎡⎤ ⎡⎤
ρτ ψ ρτ ψ
⎣⎦ ⎣⎦
+τ+ τ+
τ− τ−
∑
∫∫
(
)
,1
,
11
,,1
10
() , ,
i
i
kl
in
i
kl
ii
t
Am
i r kl kl
N
p
kj l
t
Ptt
dR
t
+
−−
+
+λ
=+ =
⎡⎤
ρτ ψ
⎣⎦
+τ+
τ−
∑∑
∫
(2.3.9)
при
)
,,1
,
ii
js js
ttt
+
⎡
∈
⎣
и
(
]
[
]
[
)
,1 1,1 1,;
iiii
tA AAA∈−∞− − − + − + ∞UU
()
(
)
,1
,
21
,,1
10
,,
,
i
i
kl
ik
i
kl
ii
t
Am
rklkl
iN
p
kA l
t
Ptt
KdR
t
+
−−
+
+λ
=+ =
⎡⎤
ϕ
⎣⎦
ρψ = τ+
τ−
∑∑
∫
(2.3.10)
при
[]
[
]
1, 1 1, 1 .
ii ii
tA A AA∈− − − + − +U
При построении квадратурных формул (2.3.9), (2.3.10) предпола-
гается, что если
0,s =
то
1
,1
1,
.
i
j
ii
js
jm
tt
−
−
−
=
Теорема 2.3.5. Погрешность квадратурных формул (2.3.9)–(2.3.10),
предназначенных для вычисления интеграла Адамара (2.3.1) при
(0) 0
i
ρ= на классе (1), 1, 2, 3,
i
r
Wi
ρ
= равна
(
)
1
.
rp
N
RON
−
+−+λ
=
Интеграл Gϕ будем вычислять по квадратурной формуле
(
)
()
(
)
()
,1
,1
,,
1
1
2
,,1 ,,1
00
,, ,,
i
i
i
jl
kl
k
ii
i
kl jl
ii ii
t
t
m
j
s
rklkl r jljl
pp
kAl l
tt
Ptt Ptt
Gdd
tt
+
+
−
−
−
++
=− = =
⎡⎤ ⎡⎤
ϕϕ
⎣⎦ ⎣⎦
ϕ= τ+ τ+
τ− τ−
∑∑ ∑
∫∫
(
)
()
(
)
()
,2 ,1
,1
,
1
,1 , 2 ,1 ,1
2
,, ,,
ii
i
js jl
j
i
js
jl
ii ii
tt
m
rjsjs rjsjl
pp
ls
t
t
Ptt Ptt
dd
tt
++
−
−
−+ −+
=+
⎡⎤ ⎡⎤
ϕϕ
⎣⎦ ⎣⎦
+τ+ τ+
τ− τ−
∑
∫∫
(
)
()
,1
,
11
,,1
10
,,
i
l
kl
ik
i
kl
ii
t
Am
rklkl
i
N
p
kj l
t
Ptt
dR
t
+
−−
+
=+ =
⎡⎤
ϕ
⎣⎦
+τ+
τ−
∑∑
∫
(2.3.11) 
   t ij , s +2 ρ (τ) P
                i     r            (ψ, ⎡⎣t   i         i        ⎤
                                             j ,s −1, t j ,s +2 ⎦   ) dτ +                    i
                                                                                  mij −1 t j ,l +1 ρ (τ) P
                                                                                                    i     r           (ψ, ⎡⎣t    i       i        ⎤
                                                                                                                                 j ,l , t j ,l +1 ⎦   ) dτ +
 +       ∫                          τ−t
                                               p+λ                                 ∑ ∫                                τ−t
                                                                                                                              p+λ
     t ij , s −1                                                              l =s +2 t i
                                                                                        j ,l

                                                          i
                                        Ai −1 mni −1 tk ,l +1 ρi ( τ) Pr            (ψ, ⎡⎣t        i       i       ⎤
                                                                                                   k ,l , tk ,l +1 ⎦   ) dτ + R
                                   +       ∑ ∑ ∫                                    τ−t
                                                                                                  p +λ                                 N              (2.3.9)
                                       k = j +1 l =0 t i
                                                      k ,l


                                           )
при t ∈ ⎡t ij , s , t ij , s +1 и t ∈ ( −∞, − Ai − 1] U [ − Ai + 1, Ai − 1] U [ Ai + 1, ∞ ) ;
        ⎣
                                                                         i
                                                 Ai − 2 mki −1 tk ,l +1 Pr          (ϕ, ⎡⎣t        i       i       ⎤
                                                                                                   k ,l , tk ,l +1 ⎦      ) dτ + R
                           K ( ρi ψ ) =           ∑ ∑ ∫                                 τ−t
                                                                                                        p +λ                           N,       (2.3.10)
                                               k = Ai +1 l =0 t
                                                                k ,l

при t ∈ [ − Ai − 1, − Ai + 1] U [ Ai − 1, Ai + 1].
   При построении квадратурных формул (2.3.9), (2.3.10) предпола-
гается, что если s = 0, то t ij , s −1 = t ij −1,mi .
                                                                                       j −1


   Теорема 2.3.5. Погрешность квадратурных формул (2.3.9)–(2.3.10),
предназначенных для вычисления интеграла Адамара (2.3.1) при
ρi (0) = 0 на классе Wρr (1), i = 1, 2,3, равна RN = O N − r + p −1+λ .
                                                     i
                                                                                                                      (                        )
       Интеграл Gϕ будем вычислять по квадратурной формуле
                                       i
                   j −1 mki −1tk ,l +1 Pr          ( ϕ, ⎡⎣t   i       i       ⎤
                                                              k ,l , tk ,l +1 ⎦   ) dτ +                 i
                                                                                                  s −2 t j ,l +1 Pr   ( ϕ, ⎡⎣t   i       i        ⎤
                                                                                                                                 j ,l , t j ,l +1 ⎦   ) dτ +
 Gϕ =              ∑ ∑ ∫                                                 p                        ∑ ∫                                   p
               k =− Ai l =0 t i
                             k ,l
                                                         (τ − t)                                  l =0 t i
                                                                                                         j ,l
                                                                                                                            (τ − t)
            t ij , s + 2
                               (
                           Pr ϕ, ⎡t ij ,s −1 , t ij ,s + 2 ⎤
                                 ⎣                         ⎦        ) dτ +    mij −1 t j ,l +1
                                                                                              i
                                                                                                             (
                                                                                                        Pr ϕ, ⎡t ij ,s −1 , t ij ,l +1 ⎤
                                                                                                              ⎣                        ⎦       ) dτ +
        +          ∫                               p                              ∑ ∫                                            p
             t j , s −1                (τ − t )                              l =s+2 t i
                                                                                      j ,l
                                                                                                                   (τ − t )
                                                                i
                                            Ai −1 mkl −1 tk ,l +1 Pr         (ϕ, ⎡⎣t   i       i       ⎤
                                                                                       k ,l , tk ,l +1 ⎦         ) dτ + R
                                       +     ∑ ∑ ∫                                                  p
                                                                                                                              i
                                                                                                                              N                 (2.3.11)
                                           k = j +1 l =0        tki ,l             (τ − t )

                                                                             47

Страницы