Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 48 стр.

  j − 2 vk +1 ϕ* ( τ) d τ    2 n − j −1          p vk + j +1                          j −1       p v j −k
                                   ⎛N⎞                                                    ⎛N⎞
  ∑ ∫                            ∑                                                   ∑
               j
+
                       p
                            ≥      ⎜ ⎟                   ∫      ϕ*j ( τ)d τ +             ⎜ ⎟         ∫    ϕ*j (τ)d τ.
  k =0 vk ( τ − t )           k =1 ⎝ ⎠
                                    k                                                k =1 ⎝ k ⎠
                                                     vk + j                                     v j − k −1

    Усредним полученное неравенство                                              по       всем       значениям       j
( j = 0,1,K, 2 N ) . В результате имеем
                                                                 2 N −1
                                                                    ∑(                       )
                                               1
                        sup max ( Gϕ ) (t ) ≥          Gϕ*j (v j ) ≥
                         ϕ   t                2 N j =0

        2 N −1 ⎡ 2 N − j −1     p vk + j +1           j −1     p v j −k             ⎤
      1        ⎢            ⎛N⎞                            ⎛N⎞
   ≥         ∑         ∑    ⎜ ⎟
                                             *
                                                ∫
                                            ϕ (τ)d τ + ⎜ ⎟               ϕ ( τ) d τ ⎥ =
                                                                          *
                                                                             ∑                   ∫
     2 N j =0  ⎢            ⎝k ⎠ v                          k                       ⎥
                                                      k =1⎝ ⎠ v j − k −1
               ⎣⎢ k =1              k+ j                                            ⎦⎥
                        ⎡                                  v j + k +1
                 N p −1 ⎢ 2 N −1 2 N K1 ( 2 N − j − k − 1)
               =
                   2    ⎢       ∑∑            k p
                                                                      ϕ* (τ)d τ +     ∫
                        ⎢⎣ j =0 k =1                        v j+k


                            2 N −1 2 N                              v j −k            ⎤
                                            K1 ( j − k − 1)
                        +    ∑∑                                       ∫     ϕ (τ) d τ ⎥ =
                                                                                 *
                                                    kp                                ⎥
                             j =0 k =1                           v j − k +1           ⎥⎦

                                    ⎡ v2 N              v2 N − k           ⎤
                       N p −1
                              2N
                                 1 ⎢
                   =             ∑
                         2 k =1 k p ⎢           ∫
                                           ϕ* (τ) d τ +          ϕ* (τ)d τ ⎥ ≥
                                                                           ⎥ ∫
                                    ⎢⎣ vk                 v0               ⎥⎦
                                       1
                            N p −1
                                                         2N
                                                                1                    C
                       ≥
                            2   p +1   ∫    ϕ* (τ)d τ    ∑ k p ≥ 2 p+1 N r − p+1 ,
                                       −1                k =1

              ⎧1, если x ≥ 0;
где K1 ( x) = ⎨
              ⎩0, если x < 0.

    Теорема доказана.



                                                         49