Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

43
2.3. Интегралы Адамара с переменной
сингулярностью на бесконечном интервале
В данном параграфе построены оптимальные, по порядку по точ-
ности алгоритмы вычисления интегралов Адамара следующего вида:
()
;1,2,;01
p
d
Kp
t
∞
+λ
−∞
ϕτ τ
ϕ= = <λ<
τ−
∫
K (2.3.1)
и интегралов типа Коши–Адамара
()
,2,3,
()
p
d
Gp
t
∞
−∞
ϕτ τ
ϕ= =
τ−
∫
K (2.3.2)
Изложенные в этом параграфе результаты опубликованы в статье
И. В. Бойкова и Н. Ф. Добрыниной [10]. Здесь также использованы
некоторые результаты статьи И. В. Бойкова [5].
Будем вычислять интегралы (2.3.1) и (2.3.2) в предположении, что
() () (),tttϕ=ρψ где ()tρ – весовая функция. В качестве весовых функ-
ций используются
(
)
2
2
123
() , () , () 1 .
t
t
ta te t t
−
α
−
−
ρ= ρ = ρ=+
Будем считать, что () (1),
i
r
tW
ρ
ϕ∈ если () () (),
i
ttt
ϕ
=ρ ψ
где
() (1).
r
tWψ∈
При этом сделаем предположение, что все производные функ-
ции
()tϕ
до
()
1r − -го порядка включительно ограничены одной и
той же постоянной, по модулю меньшей или равной единице.
Вычисление интегралов (2.3.1) и (2.3.2) будем проводить по фор-
мулам:
2
()
10
() ( ) (, , , );
Ns
l
kl k N k kl
kl
KpttRttp
−=
ϕ= ϕ + ϕ
∑∑
(2.3.3)
2
()
10
() ( ) (, , , ).
Ns
l
kl k N k kl
kl
GpttRttp
−=
ϕ= ϕ + ϕ
∑∑
(2.3.4) 
      2.3. Интегралы Адамара с переменной
    сингулярностью на бесконечном интервале
   В данном параграфе построены оптимальные, по порядку по точ-
ности алгоритмы вычисления интегралов Адамара следующего вида:
                             ∞
                                   ϕ( τ)d τ
                  Kϕ =
                       τ − t
                             ∫
                             p +λ
                                  ; p = 1, 2,K; 0 < λ < 1                           (2.3.1)
                    −∞
и интегралов типа Коши–Адамара
                                         ∞
                                                 ϕ(τ)d τ
                                 Gϕ =    ∫ (τ − t ) p ,    p = 2,3,K                (2.3.2)
                                         −∞
   Изложенные в этом параграфе результаты опубликованы в статье
И. В. Бойкова и Н. Ф. Добрыниной [10]. Здесь также использованы
некоторые результаты статьи И. В. Бойкова [5].
   Будем вычислять интегралы (2.3.1) и (2.3.2) в предположении, что
ϕ(t ) = ρ(t )ψ (t ), где ρ(t ) – весовая функция. В качестве весовых функ-
ций используются

                                                               (       )
                            −t                                             −α
                                 , ρ2 (t ) = e−t , ρ3 (t ) = 1 + t 2
                                                       2
              ρ1 (t ) = a                                                       .

   Будем считать, что ϕ(t ) ∈Wρr (1), если ϕ(t ) = ρi (t )ψ(t ),
                                             i

             r
где ψ(t ) ∈W (1).
   При этом сделаем предположение, что все производные функ-
ции ϕ(t ) до ( r − 1) -го порядка включительно ограничены одной и
той же постоянной, по модулю меньшей или равной единице.
   Вычисление интегралов (2.3.1) и (2.3.2) будем проводить по фор-
мулам:
                            2N s
                  Kϕ =      ∑∑ pkl (t )ϕ(l ) (tk ) + RN (t , tk , pkl , ϕ);         (2.3.3)
                            k −1 l =0
                             2N s
                   Gϕ =      ∑∑ pkl (t )ϕ(l ) (tk ) + RN (t , tk , pkl , ϕ).        (2.3.4)
                             k −1 l =0



                                                  43

Страницы