Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 40 стр.

                                                 2π
                                                                                    1
             RN =              sup max
                          ϕ∈W r (1)       s
                                                 ∫ ⎡⎣ ϕ(σ) − s N [ϕ(σ)]⎤⎦          p σ−s
                                                                                         dσ ≤
                                                 0                             sin
                                                                                      2
                          ⎡N ⎤
                          ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1 sk + j +1
                                                                                1
                      ≤        ∑         ∫ ( ϕ ( σ ) − s N [ ϕ( σ ) ] )          σ−s
                                                                                     dσ +
                            k =2       sk + j                             sin p
                                                                                  2
                          ⎡N ⎤
                          ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1 sk + j +1
                                                                               1
                      +     ∑            ∫ ( ϕ( σ ) − s N [ ϕ( σ ) ] )        p σ−s
                                                                                    dσ +
                            k =2       sk + j                             sin
                                                                                 2

                      s j +3
                                   1
                 +      ∫ ( ϕ (σ ) − s N [ ϕ( σ ) ])
                                  p σ−s
                                        d σ = r1 + r2 + r3 .
         s j−2                sin
                                     2
   Оценим каждое слагаемое. Первые два слагаемых этой суммы
оцениваются одинаково. Поэтому оценим только одну сумму:
⎡N⎤                                                                ⎡N⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦−1 sk + j +1                                                ⎢⎣ 2 ⎥⎦−1
                                                      1                ⎛ Kr ⎞ 2π           1
  ∑ ∫ ( ϕ(σ) − sN [ϕ(σ)])                            p σ − s
                                                             dσ ≤    ∑ ⎜ r⎟
                                                                       ⎝ N  ⎠ N      p s j +k − s j+1
                                                                                                      =
 k =2      sk + j                                sin              k =2           sin
                                                         2                                    2
                          ⎡N ⎤                                  ⎡N⎤
                          ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1                            ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1
    2π K r         1       2π K r         1         2πK r
     =⋅
         r
     N N k =2       s
                         =  ∑⋅
                                r
                                                  ≤
                           N N k =2 sin p π(k − 1) N r +1
                                                          B ( p). ∑
              sin p k −1
                      2                      N
  В предыдущих выкладках использовались оценки аппрокси-
мации сплайнами. Осталось оценить слагаемое r3 . Пусть
             (
h = min s − s j −2 , s j +3 − s .          )      Не    ограничивая            общности,    положим,
h = s − s j − 2 . Тогда


                                                          41