Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

40
1
1
1
2
**
11
11
() ()
(1)
sin
jk k j
jk k j
N
vv
N
p
jk
vv
dd
k
N
N
−++
−− +
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
==
⎡
⎤
⎢
⎥
= ϕσσ+ ϕσσ=
⎢
⎥
+π
⎢
⎥
⎣
⎦
∑∑
∫∫
1
1
1
2
**
11
11
() ()
(1)
sin
jk jk
jk jk
N
vv
N
p
kj
vv
dd
k
N
N
++ −
+−+
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
==
⎡
⎤
⎢
⎥
=ϕσσ+ϕσσ=
⎢
⎥
+π
⎢
⎥
⎣
⎦
∑∑
∫∫
1
2
2
*
1
0
21
() .
(1)
sin
N
p
r
d
k
N
N
⎡⎤
−
⎢⎥
π
⎣⎦
=
=ϕσσ⋅
+
π
∑
∫
Оценим сумму
1
2
1
1
() .
(1)
sin
N
p
k
Bp
k
N
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
=
=
+
π
∑
Очевидно,
11
22
1
11
111
.
(1)
(1) 1
2
sin
NN
p
p
p
p
kk
NN
k
kp
N
⎡⎤ ⎡⎤
−−
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
−
==
⎛⎞
⎛⎞
≥≥⋅
⎜⎟
⎜⎟
+π
+π π −
⎝⎠
⎝⎠
∑∑
В итоге получаем
()
()
1
*
13
0
1(1(1))1
.
(1)
2
N
p
r
j
rp p
j
K
o
Tv
Np
N
−
+
−−
=
π
+
ϕ≥ ⋅ ⋅
−
∑
Оценим величину погрешности квадратурной формулы (2.2.5).
Для этого оценим величину
N
R
, полагая, что
)
1
,:
jj
sss
+
⎡
∈
⎣
                ⎡N ⎤
                       −1         ⎡ v j −k                                      ⎤
             N ⎢⎣ 2 ⎥⎦                                      vk + j +1
       1                  1       ⎢
     =      ∑ ∑                                  *
                                                     ∫
                                                ϕ (σ) d σ +           ϕ (σ) d σ ⎥ =
                                                                       *
                                                                           ∫
       N j =1 k =1 sin p (k + 1)π ⎢                                             ⎥
                                  ⎢⎣ v j − k −1              vk + j             ⎥⎦
                            N
            ⎡N ⎤
            ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1        N ⎡ v j + k +1              v j −k               ⎤
       1             1            ⎢
     =           ∑                        ∑ ∫ *
                                             ϕ (σ) d σ +            ϕ ( σ) d σ ⎥ =
                                                                     *
                                                                           ∫
       N k =1 sin p (k + 1)π j =1 ⎢                                            ⎥
                                  ⎢⎣ v j + k             v j − k +1            ⎥⎦
                       N
                                                     ⎡N ⎤
                                 2π                  ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1
                             2                                      1
                                 ∫ ϕ (σ) d σ ⋅ ∑
                                    *
                         =                                                   .
                             N                                    p k + 1) π
                                                                   (
                                 0                       r =1 sin
                                                                      N
  Оценим сумму
                                            ⎡N⎤
                                            ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1
                                                         1
                                 B( p) =      ∑        p k + 1) π
                                                        (
                                                                  .
                                              k =1 sin
                                                           N
  Очевидно,
    ⎡N⎤                               ⎡N⎤
    ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1                        ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1                  p       p
                  1                     N ⎞      ⎛
                                                 ⎛N⎞    1     1
      ∑        p ( k + 1) π
                            ≥      ⎜    ∑     ⎟
                                     (k + 1)π ⎠
                                                ≥⎜ ⎟        ⋅
                                                 ⎝ π ⎠ p − 1 2 −1
                                                              p
                                                                  .
      k =1 sin                k =1 ⎝
                     N
  В итоге получаем
                        N
                                      K π1− p (1 + o(1)) 1
                         ∑(           )( )
                     1
                            T ϕ* v j ≥ r       ⋅         ⋅      .
                     N j =0           N r +1− p ( p − 1) 2 p −3

  Оценим величину погрешности квадратурной формулы (2.2.5).
Для этого оценим величину RN , полагая, что s ∈ ⎡ s j , s j +1 :
                                                ⎣                                )

                                                     40

Страницы