Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

42
[]
()
3
2
3
1
()
sin
2
j
j
s
N
p
s
rs d
s
+
−
=ϕσ−ϕ σ=
σ−
∫
3
2
1
()
sin
2
j
j
s
p
s
d
s
+
−
ψ
σσ≤
σ−
∫
2
1
()
sin
2
jh
j
s
p
s
d
s
+
−
≤ψσ σ+
σ−
∫
3
31 32
1
() ,
sin
2
j
jh
s
p
s
drr
s
+
+
ψσ σ= +
σ−
∫
где
() () ().
N
sψσ =ϕσ − σ
Оценим каждое выражение
31
r и
32
r в отдельности. Пользуясь оп-
ределением сингулярного интеграла и интеграла в смысле Адамара,
легко получаем, что
2
(1) 1
31
11
( ) () ()( ) ()( )
1! ( 1)!
jh
j
s
pp
s
r s ss ss
p
+
−
−−
⎛⎞
′
=ψσ−ψ−ψσ−−− ψ σ− ×
⎜⎟
−
⎝⎠
∫
K
1
sin
2
p
d
s
×σ
σ−
1
.
sh
rp
rp
s
AsdAN
+
−
−
−+
≤σ− σ≤
∫
Оценка
32
r следует из цепочки неравенств
3
11(1)
32
,
max ( ) .
jh j
prprp
ss
rAh ANh AN
++
−+ − −+ − +−
⎡⎤
σ∈
⎣⎦
≤ψσ≤≤
Собирая последние неравенства и сопоставляя их с оценкой сни-
зу, имеем
[]
(
)
1
41 (1)
().
r
N
r
oK
R
Bp
N
+
+π
Μ= 
              s j +3                                                           s j +3
    r3 =        ( ϕ(σ) − sN [ϕ]) p1σ − s d σ =
                 ∫                                    ψ (σ)
                                                                 1
                                                                p σ−s
                                                                      dσ ≤       ∫
         s j −2                 sin            s j −2       sin
                                     2                             2
           s j +h                                            s j +3
                          1                            1
     ≤         ∫
              ψ (σ)
                        p  σ − s
                                 dσ +       ψ (σ)
                                                      p σ−s       ∫
                                                            d σ = r31 + r32 ,
       s j −2       sin               s j+h       sin
                             2                           2
где ψ(σ) = ϕ(σ) − s N (σ).
   Оценим каждое выражение r31 и r32 в отдельности. Пользуясь оп-
ределением сингулярного интеграла и интеграла в смысле Адамара,
легко получаем, что
        s j +h
                 ⎛              1                       1                            ⎞
r31 =     ∫      ⎜ ψ(σ) − ψ(s) − ψ′(s)(σ − s) − K −           ψ( p−1) (s)(σ − s) p−1 ⎟ ×
                 ⎝              1!                  ( p − 1)!                        ⎠
        s j −2

                                                            s+h
                                1                 r− p
                       ×             dσ ≤ A   σ−s      d σ ≤ AN − r −1+ p .
                                                            ∫
                               p σ−s
                           sin              s
                                  2
   Оценка r32 следует из цепочки неравенств

         r32 ≤ Ah − p +1                max                 ψ (σ) ≤ AN − r h − p +1 ≤ AN −( r +1− p ) .
                                 σ∈⎡⎣ s j + h ,s j + 3 ⎤⎦

    Собирая последние неравенства и сопоставляя их с оценкой сни-
зу, имеем
                                                        4 (1 + o(1) ) K r π
                                    RN [ Μ ] =                                   B ( p ).
                                                                      N r +1




                                                                  42

Страницы