Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

38
с произвольными узлами 02
k
s
≤
≤π и весами
(
)
(), 1,2, , .
k
p
sk N= K
Теорема 2.2.1. Пусть (1)
r
WΜ= и интеграл T
ϕ
вычисляется по
квадратурным формулам вида (2.2.4). Тогда
[]
1
11
(4 (1))
11
1
2
p
r
N
rp p
oK
p
N
−
+
−−
+π
ξΜ≥ ⋅ ⋅
−
,
и оптимальной по порядку является квадратурная формула
()
2
0
,
sin
2
N
N
p
sd
TR
s
π
⎡ϕ σ ⎤ σ
⎣⎦
ϕ= +
σ−
∫
(2.2.5)
где
[]
1r
N
sC
−
ϕ∈ – интерполяционный сплайн порядка
r
по равно-
мерному разбиению
()
2
0,1, , .
k
k
vkN
N
π
==
K Погрешность квадра-
турной формулы равна
[]
1
2
1
1
4(1 (1))
1
(), ()
(1)
sin
N
r
N
r
p
k
oK
RBpBp
k
N
N
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
+
=
+π
Μ≤ =
π
∑
,
здесь
r
K – постоянная Фавара, определяемая по формуле
(1)
1
0
4(1)
(2 1)
kr
r
r
k
K
k
∞
−
+
=
−
=
π
+
∑
.
Доказательство
. Вычислим оценку снизу погрешности квадратур-
ной формулы вида (2.2.4) на классе
(1)
r
W
и на произвольном векторе
()
,SP узлов и весов. Пусть вектор узлов S имеет вид
()
1
,, .
N
Ss s= K
Обозначим через
*
()ϕσ функцию, удовлетворяющую следующим
условиям: 
с произвольными узлами 0 ≤ sk ≤ 2π и весами pk ( s ), ( k = 1, 2,K, N ) .

   Теорема 2.2.1. Пусть Μ = W r (1) и интеграл T ϕ вычисляется по
квадратурным формулам вида (2.2.4). Тогда

                                    (4 + o(1)) K r π1− p        1      1
                       ξ N [Μ ] ≥                          ⋅        ⋅       ,
                                                r +1− p        p − 1 2 p −1
                                            N
и оптимальной по порядку является квадратурная формула
                                       2π
                                          s N ⎣⎡ϕ ( σ ) ⎤⎦ d σ
                               Tϕ =     ∫        p σ−s
                                                               + RN ,                       (2.2.5)
                                        0   sin
                                                      2

где s N [ ϕ] ∈ C r −1 – интерполяционный сплайн порядка r по равно-
                               2πk
мерному разбиению vk =             ( k = 0,1,K, N ) . Погрешность квадра-
                                N
турной формулы равна
                                                                ⎡N ⎤
                                                                ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1
                        4(1 + o(1)) K r π                                     1
         RN [ Μ ] ≤
                             N r +1
                                             B( p), B ( p ) =     ∑        p ( k + 1) π
                                                                                        ,
                                                                  k =1 sin
                                                                                 N
здесь K r – постоянная Фавара, определяемая по формуле

                                            4 ∞ (−1) k ( r −1)
                                 Kr =           ∑
                                            π k =0 (2k + 1)r +1
                                                                .

   Доказательство. Вычислим оценку снизу погрешности квадратур-
ной формулы вида (2.2.4) на классе W r (1) и на произвольном векторе
( S , P ) узлов        и    весов.      Пусть вектор               узлов     S    имеет        вид
S = ( s1 ,K, s N ) .

   Обозначим через ϕ* (σ) функцию, удовлетворяющую следующим
условиям:


                                                  38

Страницы