Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
2.2. Квадратурные формулы для интегралов
Адамара с переменной сингулярностью
на классах периодических функций
Многочисленные задачи аэродинамики и электродинамики при-
водят к интегральным уравнениям с интегралами в смысле Адамара.
В работе М. К. Лифанова [24] показано, что решение одной из задач
аэродинамики приводит к интегральному уравнению
2
2
0
()
().
sin
2
dfs
s
π
ϕσ
σ=
σ−
∫
(2.2.1)
В связи этим представляет интерес построение асимптотически
оптимальных квадратурных формул для вычисления интеграла
2
0
()
.
sin
2
p
Td
s
π
ϕσ
ϕ
=σ
σ−
∫
(2.2.2)
Отметим, что интеграл
()
()
p
d
s
γ
ϕσ
σ
σ−
∫
, где γ – единичная окруж-
ность с центром в начале координат, сводится к интегралу типа (2.2.2).
Сделав замену переменных ,,
iis
ete
σ
τ= = имеем:
22
00
2
() ( ) ( )
.
()
sin
sin
2
2
ii
ps
p
p
ip
ips
eed
dd
s
t
s
ee
ππ
σσ
σ−
γ
ϕτ ϕ σ ϕσ
τ= = σ
σ−
τ−
σ−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫
(2.2.3)
Построим оптимальные квадратурные формулы для вычисления
интеграла (2.2.2) при четных показателях сингулярности:
2, 4,6,p =
K на классе
(1)
r
W
.
Интеграл Tϕ будем вычислять по квадратурным формулам вида
()
1
() () ,, (),
N
kk N kr
k
TspsRssps
=
ϕ= ϕ + ϕ
∑
(2.2.4) 
     2.2. Квадратурные формулы для интегралов
      Адамара с переменной сингулярностью
         на классах периодических функций
   Многочисленные задачи аэродинамики и электродинамики при-
водят к интегральным уравнениям с интегралами в смысле Адамара.
В работе М. К. Лифанова [24] показано, что решение одной из задач
аэродинамики приводит к интегральному уравнению
                                  2π
                            ϕ(σ)
                             2 σ−s  ∫
                                   d σ = f ( s ).        (2.2.1)
                       0 sin
                                2
   В связи этим представляет интерес построение асимптотически
оптимальных квадратурных формул для вычисления интеграла
                                             2π
                                                   ϕ(σ)
                                    Tϕ =      ∫     p σ−s
                                                          d σ.                 (2.2.2)
                                              0 sin
                                                       2
                                              ϕ(σ)
   Отметим, что интеграл                 ∫ (σ − s) p d σ , где γ – единичная окруж-
                                         γ
ность с центром в начале координат, сводится к интегралу типа (2.2.2).
Сделав замену переменных τ = eiσ , t = eis , имеем:
                      2π                                      2π
         ϕ(τ)                          eiσ ϕ(eiσ )d σ              ϕ(σ)
     ∫ (τ − t ) p d τ = ∫             p     σ− s
                                                          =   ∫     p σ−s
                                                                          d σ. (2.2.3)
     γ                 0 ⎛     σ − s ⎞ ips i 2 p              0 sin
                           sin
                            ⎜           e e
                                          ⎟                            2
                            ⎝           2 ⎠
   Построим оптимальные квадратурные формулы для вычисления
интеграла (2.2.2) при четных показателях сингулярности:
 p = 2, 4,6,K на классе W r (1) .
   Интеграл T ϕ будем вычислять по квадратурным формулам вида
                                N
                      Tϕ =      ∑ ϕ(sk ) pk (s) + RN ( s, sk , pr (s), ϕ)      (2.2.4)
                                k =1


                                                  37

Страницы