Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

35
Пусть
*
()tϕ – функция, обращающаяся в нуль вместе со всеми
своими производными до
(
)
1r
−
-го порядка включительно в узлах
k
t
квадратурной формулы (2.1.1), в точках
(
)
1, 2, , 1
k
sk l
±
=
+K и равна
нулю на сегменте
[]
,
ll
s
s
−
. Из теорем 1’ и D1 монографии [34] следу-
ет, что
[]
()
1
;1
()
1
1
1
1
1
(,)
()0
1,2, ,
0,1, , 1
(1)
sup ( )
2!( 1) 1 (1)
k
r
kkk
k
l
j
k
r
s
q
kk krq
r
WM ss
rs
q
r
krq
t
jN
lr
ss MR
d
rrq N R
+
ρ+
+−
+
ϕ∈
ϕ=
=
=−
−
ϕτ τ≥
⎛⎞
⎡⎤
+−+
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∫
K
K
,
где
k
N – число узлов квадратурной формулы (2.1.1), расположенных
в сегменте
[]
1
,
kk
ss
+
.
Как и при доказательстве теоремы 2.1.1, имеем
11
1
*
**
12
11
1
0
() 1 1 1
() () .
kk
kk
ss
l
rkk
k
ss
d
ddII
sss
++
−
νν νν
++
=
⎡⎤
⎛⎞
ϕτ τ
⎢⎥
≥ϕττ+−ϕττ=+
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
τ
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
∑
∫∫ ∫
Нетрудно видеть, что
()
()
1
1
1
1
*
1
1
1
1
11
1
(1)
1
() .
2! 1
1(1)
k
k
s
r
ll
q
rq
kk k
r
r
q
k
kk
s
r
kk rq
R
Ms s
Id
s
rrq
sN R
+
+−
+
ν
+
==
ν
+
−
=ϕττ≥
⎛⎞
+
⎡⎤
−+
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∑∑
∫
Величины
k
M
можно выбрать произвольно при выполнении
только одного условия:
1
0
1.
l
p
k
k
k
M
=−
≠
=
∑
Положив все значения
k
M
рав-
ными
()
1
1
,
2
p
l
имеем 
     Пусть ϕ* (t ) – функция, обращающаяся в нуль вместе со всеми
своими производными до ( r − 1) -го порядка включительно в узлах tk
квадратурной формулы (2.1.1), в точках s± k ( k = 1, 2,K, l + 1) и равна
нулю на сегменте [ s−l , sl ] . Из теорем 1’ и D1 монографии [34] следу-
ет, что
                                                                                        1
                                    sk +1
                                                                  ( sk +1 − sk )r +1−       q   M k Rrq (1)
             sup
  ϕ∈Wρr ( M k ; [ sk , sk +1 ]) s
                                     ∫      ϕ(τ)d τ ≥
                                                                           1
                                                                           ⎛                        1 ⎞             r
                                                                                                                        ,
                                 k                        2r r !(rq + 1) q ⎜ N k − 1 + ⎡⎣ Rrq (1) ⎤⎦ r ⎟
        ϕ( l ) (t j ) =0                                                   ⎝                           ⎠
         j =1,2,K, N k
        l =0,1,K,r −1

где N k – число узлов квадратурной формулы (2.1.1), расположенных
в сегменте [ sk , sk +1 ] .
     Как и при доказательстве теоремы 2.1.1, имеем
 1 *                      ⎡     sk +1
                                                   ⎛ 1          sk +1          ⎤
                                                          1 ⎞
                           l
     ϕ (τ)d τ                1
 ∫      τν
                  ≥   ∑   ⎢
                          ⎢ sν
                                       *
                                            ∫
                                      ϕ ( τ) d τ + ⎜ −
                                                   ⎜ sν sν ⎟
                                                              ⎟       ϕ (τ)d τ ⎥ = I1 + I 2 .
                                                                       *−
                                                                               ⎥  ∫
 0                  k =1 ⎣⎢ r +1 sk                ⎝ k   k +1 ⎠ sk             ⎦⎥
     Нетрудно видеть, что
                     sk +1                                                                            r +1− 1
        l
              1                                         Rrq (1)        l       M k ( sk +1 − sk )               q
I1 =   ∑     ν        ∫
                                *
                               ϕ (τ)d τ ≥
                                                                  1   ∑                                             r
                                                                                                                        .
       k =1 sk +1 sk                            2r r !( rq + 1) q k =1 ν ⎛                           1 ⎞
                                                                      sk +1 ⎜ N k − 1 + ⎡⎣ Rrq (1) ⎤⎦ r ⎟
                                                                            ⎝                           ⎠
     Величины M k можно выбрать произвольно при выполнении
                                                 l
только одного условия:                          ∑ M kp = 1. Положив все значения M                              k   рав-
                                                k =−1
                                                 k ≠0
                     1
ными 1      ( 2l )       p,     имеем


                                                             35

Страницы