Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
()
()
()
()
*
1
1
*
0
1
!1!
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
Kt td
rt r j
t
−
−+
ν
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
≤− −τ+
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
()
()
()
()
1
*
1
1
*
0
1
!1!
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
Kt td
rt r j
t
+
−
−+
ν
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
+− −τ=
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
()
()
()
()
1
1
1
*
0
1
!1!
k
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
Kt td
rt r j
t
+
−
−+
ν
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
=− −τ≤
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
()
()
()
()
1
1
1
0
1
.
!1!
k
k
t
r
kj
r
rj k
k
j
t
B
Kt
Kt td
rt r j
t
+
−
−+
ν
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
≤
−−τ
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
В случае б:
() ()
11
3
1
11
,,
kk
kk
tt
kk
tt
Itd td
tt
++
−+
νν
+
≤ ϕ ττ− ϕ ττ=
∫∫
() ()
11
1
111
,,
kk
kk
tt
kkk
tt
td td
ttt
++
+
ννν
+
⎛⎞
=ϕττ+− ϕττ≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
()
()
()
11
1
1
1
1
,
1!
kk
kk
tt
r
kk
kkk
tt
t
tt
td d
r
ttt
++
−
νν
+
ννν
+
τ−
−
≤ϕττ+ τ
−
∫∫
,
где
()
(),если 0, 0, если 0,
()
0, если 0; ( ), если 0;
tt t
tt
ttt
+−
ϕ≥ ≥
⎧⎧
ϕ= ϕ =
⎨⎨
<
ϕ<
⎩⎩
()
()
()
()
()
1
1
0
,.
1! 1 !
r
kj
r
rj k
j
B
Kt
tKtt
rrj
−
−+
=
τ−
ϕτ= − −
−−−
∑
                      t* ⎛                                                     ⎞
                      ⎜ r(
               1       K τ − t ) r −1          Bkj
          ≤            ∫
              t *ν t ⎜⎝ ( r − t )!
                                   −                     ∑
                                                         K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ +
                                     j =0 (
                                            r − 1 − j )!                       ⎟
                    k                                                          ⎠
                  tk +1 ⎛                                                  ⎞
                  ⎜ r(
           1       K τ − t ) r −1          Bkj
      +            ∫
          t *ν * ⎜⎝ ( r − t )!
                               −                         ∑
                                                     K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ =
                                 j =0 (
                                        r − 1 − j )!                       ⎟
               t                                                           ⎠
                   tk +1 ⎛                                                  ⎞
                   ⎜ r(
              1     K τ − t ) r −1          Bkj
      =                ∫
           t *ν t ⎜⎝ ( r − t )!
                                −                         ∑
                                                      K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ ≤
                                  j =0 (
                                         r − 1 − j )!                       ⎟
                 k                                                          ⎠
                      tk +1 ⎛                                                  ⎞
                      ⎜ r(
               1       K τ − t ) r −1          Bkj
          ≤            ∫
               tkν t ⎜⎝ ( r − t )!
                                   −                      ∑
                                                         K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ.
                                     j =0 (
                                            r − 1 − j )!                       ⎟
                    k                                                          ⎠
  В случае б:
                                        tk +1                                    tk +1
                                 1                  −                       1
                      I3 ≤               ∫      ϕ       (t, τ) d τ −              ∫      ϕ+ ( t , τ ) d τ =
                                tkν t                                    tkν+1 t
                                      k                                          k


                               tk +1                      tk +1
                       1                     ⎛1     1 ⎞
                  =           ϕ (t, τ) d τ + ⎜ −
                                ∫                       ⎟       ϕ+ ( t , τ ) d τ ≤     ∫
                        ν
                       tk t                  ⎜  ν  ν ⎟
                            k
                                             ⎝ tk tk +1 ⎠ tk

                                tk +1                                            tk +1
                           1
                                        ϕ (t, τ) d τ +
                                                                tkν+1 − tkν              ( τ − t )r −1 d τ ,
                   ≤
                        tkν t
                                    ∫                                tkν tkν+1
                                                                                  ∫        ( r − 1)!
                              k                                                   tk
где
                    ⎧ϕ(t ), если t ≥ 0,                                              ⎧ 0, если t ≥ 0,
          ϕ+ (t ) = ⎨                                                     ϕ− ( t ) = ⎨
                    ⎩ 0, если t < 0;                                                 ⎩ϕ(t ), если t < 0;

                                    Kr ( τ − t )              r −1         Bkj
               ϕ (t, τ) =
                                        ( r − 1)!
                                                          −   ∑ ( r − 1 − j )! Kr − j ( tk +1 − t ).
                                                              j =0



                                                                 33

Страницы