Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
2)
1
1
0
()
();
(1)! (1)!
r
kj
r
rjk
j
B
Kt
Kt t
rrj
−
−+
=
τ−
≤−
−−−
∑
3) при
*
k
tt≤τ≤ выполняется второе неравенство, а при
*
k
tt≥τ≥ –
первое.
Нетрудно видеть, что в случаях 1 и 2
()
()
()
()
1
1
31
0
1! 1 !
k
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
IKttd
rrj
+
−
−ν
−+
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
=τ − − τ≤
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
()
()
()
()
1
1
1
0
1
.
1! 1 !
k
k
t
r
kj
r
rj k
k
j
t
B
Kt
Kt td
rrj
t
+
−
−+
ν
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
≤− −τ
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
(2.1.7)
В случае 3 можно рассмотреть две возможности:
а) внутренний интеграл в формуле (2.1.6) не меньше нуля;
б) внутренний интеграл в формуле (2.1.6) меньше нуля.
В случае а справедливо неравенство (2.1.7):
()
()
()
()
1
1
31
0
1! 1 !
k
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
IKttd
rrj
+
−
−ν
−+
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
=τ − − τ=
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
()
()
()
()
*
1
1
0
!1!
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
Kt td
rt r j
−
−ν
−+
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
=τ − − τ+
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
()
()
()
()
1
*
1
1
0
!1!
k
t
r
kj
r
rj k
j
t
B
Kt
Kt td
rt r j
+
−
−ν
−+
=
⎛⎞
τ−
⎜⎟
+τ − − τ≤
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑
∫
        K r ( τ − t ) r −1       Bkj
   2)
         (r − 1)!
                     ≤          ∑
                            ( r − 1 − j )!
                                           K r − j (tk +1 − t );
                       j =0

   3) при tk ≤ τ ≤ t * выполняется второе неравенство, а при tk ≥ τ ≥ t * –
первое.
   Нетрудно видеть, что в случаях 1 и 2
                tk +1     ⎛ K ( τ − t ) r −1                                       ⎞
                                                   Bkj
        I3 =        ∫ τ−ν ⎜ r
                          ⎜ ( r − 1)!
                                       −    ∑                K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ ≤
                                         j =0 (
                                                r − 1 − j )!                       ⎟
                   tk     ⎝                                                        ⎠

                      tk +1 ⎛                                                ⎞
                     ⎜ r(
               1      K τ − t ) r −1         Bkj
          ≤             ∫
              tkν t ⎜⎝ ( r − 1)!
                                 −        ∑            K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ .         (2.1.7)
                                   j =0 (
                                          r − 1 − j )!                       ⎟
                   k                                                         ⎠
   В случае 3 можно рассмотреть две возможности:
   а) внутренний интеграл в формуле (2.1.6) не меньше нуля;
   б) внутренний интеграл в формуле (2.1.6) меньше нуля.
   В случае а справедливо неравенство (2.1.7):
                tk +1     ⎛ K ( τ − t ) r −1                                       ⎞
                                                   Bkj
        I3 =        ∫ τ−ν ⎜ r
                          ⎜ ( r − 1)!
                                       −    ∑                K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ =
                                         j =0 (
                                                r − 1 − j )!                       ⎟
                   tk     ⎝                                                        ⎠

               t*⎛ K ( τ − t ) r −1                                       ⎞
                                          Bkj
           = τ−ν ⎜ r
                ∫⎜ ( r − t )!
                              −           ∑         K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ +
                                j =0 (
                                       r − 1 − j )!                       ⎟
            tk   ⎝                                                        ⎠
              tk +1   ⎛ K ( τ − t ) r −1       Bkj                             ⎞
          +    ∫  τ−ν ⎜ r
                      ⎜ ( r − t )!
                                   −      ∑              K r − j ( tk +1 − t ) ⎟ d τ ≤
                                     j =0 (
                                            r − 1 − j )!                       ⎟
               t*     ⎝                                                        ⎠




                                                 32

Страницы