Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

30
Можно показать, что сумма
1
1
4( 1) 2( 1)
l
r
kM
r
k
Nr
=
⎡
⎤
−+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
при выполнении условия
1
M
Ml
N
NNN
+
+
++ =K достигает мини-
мума при
1
.
1
MM l
N
NN N
lM
+
====
−
+
K
Подставляя это значе-
ние в предыдущее неравенство, имеем
1
1
1(1) 1 1
.
1
4!
r
rr
or
I
r
rN
+
++
⎡⎤
≥
⎢⎥
+−ν
⎣⎦
Перейдем к оценке
2
I
:
(1)
*
2
(1)
1
11
()
kM
kM
s
l
kM k M
k
s
Id
ss
+
−
νν
+
=
⎡⎤
⎢⎥
=− ϕττ≥
⎢⎥
⎣⎦
∑
∫
2
2
1
1(1) 1 1
().
(1)! 1
r
rr
r
or
MoN
rr
N
+
+−
+
++
⎛⎞
≥=
⎜⎟
++−ν
⎝⎠
Таким образом, из оценок
1
I
и
2
I
следует, что
11
1
**
(1)
10
() () 2 (1) 1 1
sup 2 .
1
4!
r
r
rr
W
ddor
r
rN
+
νν
ϕ∈
−
ϕτ τ ϕτ τ + +
⎛⎞
≥≥
⎜⎟
+−ν
⎝⎠
ττ
∫∫
Оценка снизу получена.
Погрешность квадратурной формулы (2.1.3) определяется как
1
1
()
1
1
0
() (0)
(1 ( 1) )
!( 1 )
t
k
r
kk
Nl
k
t
d
Rt
kk
−
−
+−ν + −ν
ν
=
ϕτ τ ϕ
≤− −−+
+−ν
τ
∑
∫
  Можно показать, что сумма
                                       l
                                                                     1
                                      ∑                                                r
                                      k =M   ⎡                       1 ⎤
                                             ⎢ 4( N k − 1) + 2(r + 1) ⎥
                                                                      r
                                             ⎣                          ⎦
при выполнении условия N M + N M +1 + K + Nl = N достигает мини-
мума при N M = N M +1 = K = Nl = N         . Подставляя это значе-
                                   l − M +1
ние в предыдущее неравенство, имеем
                                                                            r +1
                                             1 + o(1) ⎡ r + 1 ⎤                    1
                                      I1 ≥            ⎢           ⎥                        .
                                               4r r ! ⎣ r + 1 − ν ⎦                Nr
  Перейдем к оценке I 2 :

                                ⎡ 1
                                  l
                                             1                       ⎤ s( k +1) M
                     I2 =      ∑⎢
                                   ν
                                      −
                                         ν
                                                                     ⎥
                                                                           ∫      ϕ*− (τ)d τ ≥
                          k =1 ⎢⎣ skM   s( k +1) M                   ⎥
                                                                     ⎦ skM
                                                                               r +2
                     1 + o(1)              r +2      1 ⎛ r +1 ⎞
                 ≥                    M                    ⎜           ⎟                = o( N − r ).
                             r +1                 (r + 1)! ⎝ r + 1 − ν ⎠
                         N
  Таким образом, из оценок I1 и I 2 следует, что
                     1                            1 *                                              r +1
                         ϕ* (τ)d τ                    ϕ (τ)d τ           2 + o(1) ⎛ r + 1 ⎞               1
       sup
      ϕ∈W   r
                (1)
                    ∫         τ   ν
                                           ≥2     ∫     τ   ν
                                                                     ≥            ⎜           ⎟
                                                                           4r r ! ⎝ r + 1 − ν ⎠           Nr
                                                                                                               .
                   −1                             0

  Оценка снизу получена.
  Погрешность квадратурной формулы (2.1.3) определяется как
                     t1
                           ϕ(τ)d τ            r −1    ϕ( k ) (0) k +−ν
       RN ≤ ∫                              − ∑                      tl (1 − (−1) k +1−ν ) +
                     t−1       τν             k =0 k !( k + 1 − ν )




                                                                30

Страницы