Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

29
(1)
*
12
(1)
11
() .
kM
kM
s
kM k M
s
dII
ss
+
νν
+
⎤
⎛⎞
⎥
⎜⎟
+− ϕττ=+
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎥
⎦
∫
(2.1.5)
В монографии С. М. Никольского [34] показано, что при любом
расположении узлов
k
t
1
1
()
1
(1)
10
0
1
inf sup ( ) ( ) .
!4( 1) 2( 1)
r
kl
Nr
l
kl k
r
p
W
kl
r
dpt
rN r
−
ϕ∈
==
ϕτ τ− ϕ ≥
⎡
⎤
−+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
∑∑
∫
Из этого неравенства, леммы С. А. Смоляка и теоремы С. М. Ни-
кольского [34] имеем
()
(1)
()
,,1,2,,,
(1)
1
(1)
1
(1)
()0
0,1, , 1
sup ( ) .
!4( 1) 2( 1)
kM
r
kM
j
i
is s i N
kM k M k
r
s
kM kM
r
W
s
r
k
v
v
jr
ss
d
rN r
+
⎡⎤
∈=
+
⎣⎦
+
+
ϕ∈
ϕ=
=−
−
ϕτ τ≥
⎡
⎤
−+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
K
K
Оценим сумму
1
I
:
()
(1)
1
(1)
1
1
(1)
11
1
()
!4( 1) 2( 1)
kM
kM
r
s
ll
kM kM
r
kM
kk
s
r
k
ss
Id
s
rN r
+
+
+
ν
+
==
−
=ϕττ≥ ≥
⎡
⎤
−+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
∑∑
∫
11
1
1(1(1)) 1
.
1!
4( 1) 2( 1)
rr
l
r
kM
r
k
Mr o
Nr r
Nr
++
=
++
⎛⎞⎛ ⎞
≥
⎜⎟⎜ ⎟
+−ν
⎝⎠⎝ ⎠
⎡
⎤
−+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
                             ⎛ 1                               ⎞ s( k +1) M           ⎤
                                          1
                            +⎜     −                           ⎟
                                                                    ∫       ϕ* (τ)d τ ⎥ = I1 + I 2 .              (2.1.5)
                                ν
                             ⎜ skM   s(νk +1) M                ⎟                      ⎥
                             ⎝                                 ⎠ skM                  ⎥⎦
   В монографии С. М. Никольского [34] показано, что при любом
расположении узлов tk
                       1                    N r −1
                                                                                              1
  inf
  pkl ϕ∈W r
           sup          ∫   ϕ(τ)d τ −     ∑∑ pkl ϕ(l ) (tk ) ≥                                                        r
                                                                                                                           .
                    (1)0                  k =1 l =0                             ⎡                     1 ⎤
                                                                             r !⎢ 4( N − 1) + 2(r + 1) r ⎥
                                                                                ⎣                        ⎦
   Из этого неравенства, леммы С. А. Смоляка и теоремы С. М. Ни-
кольского [34] имеем
                                                                                                       r +1
                                                 s( k +1) M
                                                              ϕ(τ)d τ ≥
                                                                               ( s(k +1)M − skM )
                     sup                             ∫                                                             r
                                                                                                                       .
                    ϕ∈W r (1)                      skM                        ⎡                       1 ⎤
                                                                           r !⎢ 4( N k − 1) + 2(r + 1) r ⎥
                 ϕ( j ) (vi ) =0                                              ⎣                          ⎦
  vi∈⎡ s                  ⎤
        ⎣ kM , s( k +1) M ⎦ , i =1, 2,K, N k ,
               j = 0, 1,K,r −1

  Оценим сумму I1 :
                                                                                                   r +1
                l
                            1
                                    s( k +1) M                     l        ( s(k +1)M − skM )
    I1 =      ∑ sν                      ∫         ϕ(τ) d τ ≥      ∑                                           r
                                                                                                                  ≥
              k =1 ( k +1) M          skM                         k =1 ⎡                          1 ⎤
                                                                      r !⎢ 4( N k − 1) + 2( r + 1) r ⎥
                                                                         ⎣                           ⎦
                     r +1                    r +1
     ⎛M ⎞                   ⎛ r +1 ⎞                 (1 + o(1)) l                1
    ≥⎜ ⎟
     ⎝N⎠
                            ⎜         ⎟
                            ⎝ r +1− ν ⎠                  r ! k =M ⎡
                                                                       ∑                  1 ⎤r
                                                                                               .

                                                                  ⎢ 4( N k − 1) + 2(r + 1) ⎥
                                                                                           r
                                                                  ⎣                          ⎦




                                                                29

Страницы