Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

27
в которой
1
1
.
r
r
k
k
t
N
+
+−ν−λ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
Погрешность этой формулы равна
1
11
(1) ( 2 (1)) .
1
4!
r
r
N
rr
r
RW o
r
N
r
+
+
⎛⎞
⎡⎤
=+
⎜⎟
⎣⎦
+−ν−λ
⎝⎠
Теорема 2.1.6. Пусть интеграл
F
ϕ
вычисляется по квадратурной
формуле (2.1.2) при
(
)
11,2,.pr r=− = K Тогда при 1 p
≤
<∞
()
1
1
1
1
(1 (1)) (1)
(1) .
1
2!1
r
rq
r
Np
r
r
q
q
r
oR
q
W
r
q
rrq N
+
−
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎡⎤
ξ≥
⎜⎟
⎣⎦
+−ν−λ
⎜⎟
+
⎝⎠
Теорема 2.1.7. Пусть интеграл
F
ϕ
вычисляется по квадратурной
формуле (2.1.2) при
(
)
12,4,.rrρ= − = K Тогда при 1 p
≤
<∞
()
1
1
1
1
(1 (1)) (1)
(1) .
1
2!1
r
q
rq
r
Np
r
r
q
q
r
oR
q
W
r
q
rrq N
+
−
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎡⎤
ξ≥
⎜⎟
⎣⎦
+−ν−λ
⎜⎟
+
⎝⎠
Теорема 2.1.8. Среди всевозможных квадратурных формул ви-
да (2.1.2) при
(
)
11,2,,rrρ= − = K использующих 2( 1)N
+ значе-
ний подынтегральной функции для вычисления интеграла
F
ϕ , асим-
птотически оптимальной на классе
(1)
r
W является формула (2.1.4), в
которой
()
1
1
.
r
q
r
q
k
k
t
N
+
+
−ν−λ
±
=± Погрешность этой формулы равна
()
1
1
1
1
(1 (1) (1)
(1) .
1
21!
r
q
rq
r
N
r
r
q
q
r
oR
q
RW
r
q
rq r N
+
ρ
+
⎛⎞
+
+
⎜⎟
⎡⎤
=
⎜⎟
⎣⎦
+−ν−λ
⎜⎟
+
⎝⎠
                       r +1
               ⎛k ⎞           r +1−ν−λ
в которой tk = ⎜ ⎟                       . Погрешность этой формулы равна
               ⎝N⎠
                                                               r +1
                                        ⎛    r +1     ⎞                    1
             RN ⎡W r (1) ⎤ = (2 + o(1)) ⎜             ⎟                         .
                ⎣        ⎦              ⎝ r +1− ν − λ ⎠               4 N rr!
                                                                       r

   Теорема 2.1.6. Пусть интеграл Fϕ вычисляется по квадратурной
формуле (2.1.2) при p = r − 1            ( r = 1, 2,K) .   Тогда при 1 ≤ p < ∞
                                                                                    r +1
                                (1 + o(1)) Rrq (1) ⎛     r+ 1       ⎞
           ⎡  r ⎤                                  ⎜          q     ⎟
        ξ N W p (1) ≥                                                                      .
           ⎣       ⎦    r− 1               1      ⎜⎜ r + 1 − ν − λ ⎟⎟
                      2      q
                               r !( rq + 1) q N r ⎝       q         ⎠
   Теорема 2.1.7. Пусть интеграл Fϕ вычисляется по квадратурной
формуле (2.1.2) при ρ = r − 1 ( r = 2, 4,K) . Тогда при 1 ≤ p < ∞

                                                                               r+ 1
                              (1 + o(1)) Rrq (1)     ⎛    r+ 1        ⎞                q
                                                     ⎜         q      ⎟
       ξ N ⎡W pr (1) ⎤ ≥                                                                       .
           ⎣         ⎦     r− 1               1      ⎜ r + q − ν − λ ⎟⎟
                                                     ⎜    1
                         2      q
                                  r !( rq + 1) q N r ⎝                ⎠
   Теорема 2.1.8. Среди всевозможных квадратурных формул ви-
да (2.1.2) при ρ = r − 1 ( r = 1, 2,K) , использующих 2 N (ρ + 1) значе-
ний подынтегральной функции для вычисления интеграла Fϕ , асим-
птотически оптимальной на классе W r (1) является формула (2.1.4), в
                         r+ 1
                                q
которой t± k = ± k( )
                   N
                                    r + 1 −ν−λ .
                                         q         Погрешность этой формулы равна

                                                                                r+ 1
                           (1 + o(1) Rrq (1)        ⎛     r+ 1       ⎞                     q
                                                    ⎜          q     ⎟
       RN ⎡Wρ (1) ⎤ =
             r
                                                                                                   .
          ⎣       ⎦     r+ 1                        ⎜ r + 1 − ν − λ ⎟⎟
                               ( rq + 1) q r ! N r ⎜⎝
                             q          1
                      2                                    q         ⎠




                                             27

Страницы