Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
Коэффициенты
kl
B
определяются из равенства
()
(
)
()
()
()
1
1
1
11
11
0
!
1,,,
1! 2 2
r
rrl
r
kl k k
kk k k
kkrq
l
Br t t
tt t t
tt tt R t
rl
−
−−
+
++
++
=
−
+−
⎛⎞
−− − =−
⎜⎟
−−
⎝⎠
∑
где через
(
)
,,
rq
R
aht обозначен полином вида
1
0
,
r
rl
l
l
tat
−
=
+
∑
определенный на сегменте
k
Δ
и наименее уклоняющийся от нуля в
метрике пространства
(
)
11
1.
q
L
pq
+
=
Локальный сплайн, составленный из полинома
(
)
,,
k
tΔ
0,1, , 1kN=−K обозначается через ().
N
f
t
Теорема 2.1.1. Среди всевозможных квадратурных формул (2.1.1),
использующих
()
21, 1
N
rρ+ ρ= − , значений подынтегральной функ-
ции для вычисления интеграла
I
ϕ
, асимптотически оптимальной на
классе (1)
r
W является формула
()
()
(
)
1
()
1
1
0
(0)
(1 1
!1
r
k
r
k
k
It
kk
−
+−ν
+−ν
=
ϕ
ϕ= − − +
+−ν
∑
[
]
(
)
1
1
1
,,
k
k
t
N
kk
N
kN
t
tt
dR
+
−
+
ν
=−
ϕτ
+τ+
τ
∑
∫
, (2.1.3)
где
()
1
1
,0,1,,,
r
r
k
k
tkN
N
+
+−ν
=± = K суммирование проводится по
индексам
[]
()
1
1, 0; , ,
kr
ktt
+
≠− ϕ τ – описанный выше полином.
Погрешность квадратурной формулы (2.1.3) равна
()
1
2(1) 1 1
1.
1
4!
r
r
N
rr
or
RW
r
rN
+
++
⎛⎞
⎡⎤
=
⎜⎟
⎣⎦
+−ν
⎝⎠
   Коэффициенты Bkl определяются из равенства
              r −1 B r ! t  (
                          k +1 − tk        )                                         tk + tk +1 tk +1 − tk ⎞
( tk +1 − t )r − ∑  kl
                                               ( tk +1 − t )r −l −1 = ( −1)r Rrq ⎛⎜            ,          ,t ⎟,
              l =0   ( r − l −1)!                                                   ⎝ 2              2       ⎠
где через    Rrq ( a, h, t ) обозначен полином вида

                                                        r −1
                                                 t r + ∑ al t l ,
                                                        l =0

определенный на сегменте Δ k и наименее уклоняющийся от нуля в
метрике пространства Lq 1 + 1 = 1 .
                         p     q       (                        )
   Локальный сплайн, составленный из полинома f ( Δ k , t ) ,
k = 0,1,K , N − 1 обозначается через f N (t ).
   Теорема 2.1.1. Среди всевозможных квадратурных формул (2.1.1),
использующих 2 N ( ρ + 1) , ρ = r − 1 , значений подынтегральной функ-
ции для вычисления интеграла I ϕ , асимптотически оптимальной на
классе W r (1) является формула
                            r −1
                            ∑ k !( k + 1 − ν ) t k +1−ν ( (1 − ( −1)r +1−ν ) +
                                    ϕ( k ) (0)
                     Iϕ =
                            k =0


                                 + ∑
                                    N −1 tk +1 ϕ      ([tk , tk +1 ] , τ ) d τ + R
                                                 ∫                                    N   ,           (2.1.3)
                                   k =− N tk                   τν

                       r +1
где tk = ± k  ( N)            r +1−ν , k   = 0,1,K , N , суммирование проводится по
индексам k ≠ −1,0; ϕ ([tk , tr +1 ] , τ ) – описанный выше полином.
   Погрешность квадратурной формулы (2.1.3) равна
                                                                             r +1
                                      2 + o(1) ⎛ r + 1 ⎞                              1
                      RN ⎡W r (1) ⎤ =          ⎜           ⎟                                  .
                         ⎣        ⎦     4r r ! ⎝ r + 1 − ν ⎠                        Nr


                                                        25

Страницы