Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
Пусть
()
() 1
r
ft W∈ и
[
]
0,1 .t ∈ На сегменте
[
]
1,1− функция
(
)
f
t
аппроксимируется полиномом
()
()
()
()
1
()
0
0
1,
!
k
r
kk
k
k
f
ft t B
k
−
=
⎡
⎤
⎢
⎥
=+δ
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
%
где
()
()
1
0
0
() () .
!
k
r
k
k
f
tft t
k
−
=
δ= −
∑
Коэффициенты
k
B
определяются из равенства
()
()
() () ()
1
1
0
!
111,
1!
r
rrkr
k
rq
k
Br
ttRt
rk
−
−−
=
−− − =−
−−
∑
где
rq
R
– полином степени r , наименее уклоняющийся от нуля в
метрике пространства
(
)
11
1.
q
L
pq
+
=
Построим локальный сплайн, аппроксимирующий функцию
() (1)
r
ft W∈ на сегменте [–1,1]. Разобьем сегмент [–1,1] точками
01
:1 1
kN
tttt−= < < < =K
на более мелкие сегменты
[
]
1
,,
kkk
tt
+
Δ=
0,1, , 1.
kN=−K На каждом сегменте
k
функция
(
)
f
t аппрокси-
мируется полиномом
()
()
() ()
()
1
()
1
0
,,
!
l
r
l
k
l
kkklk
l
ft
ft ttB t
l
−
+
=
⎡
⎤
⎢
⎥
Δ= −+δ
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
где
()
()
1
()
0
()
() .
!
r
l
l
k
k
l
ft
tft tt
l
−
=
δ= − −
∑
   Пусть f (t ) ∈W r (1) и t ∈ [ 0,1]. На сегменте [ −1,1] функция f ( t )
аппроксимируется полиномом
                                    r −1 ⎡
                                               f (k ) ( 0) k                ⎤
                       f% ( t ) =   ∑     ⎢
                                                   k!
                                                          t + Bk δ( k ) (1) ⎥ ,
                                    k =0 ⎢⎣                                 ⎥⎦
где
                                                    f (k ) ( 0 ) k
                                                           r −1
                              δ(t ) = f (t ) −          ∑
                                                        k!
                                                                t .
                                               k =0

   Коэффициенты Bk определяются из равенства
                          r −1
                                       B r!
                   r
            (1 − t ) −    ∑ ( r − kk − 1)! (1 − t )r −k −1 = ( −1)r Rrq ( t ) ,
                         k =0

где Rrq – полином степени r , наименее уклоняющийся от нуля в

метрике пространства Lq 1 + 1 = 1 .
                         p   q        (                           )
   Построим локальный сплайн, аппроксимирующий функцию
f (t ) ∈W r (1) на сегменте [–1,1]. Разобьем сегмент [–1,1] точками
tk : − 1 = t0 < t1 < K < t N = 1 на более мелкие сегменты Δ k = [tk , tk +1 ] ,
k = 0,1,K , N − 1. На каждом сегменте Δ k функция f ( t ) аппрокси-
мируется полиномом
                              r −1 ⎡      f (l ) ( t k )                                    ⎤
             f ( Δk , t ) =   ∑ ⎢⎢             l!
                                                           ( t − tk )l + Bkl δ(l ) ( tk +1 )⎥ ,
                                                                                            ⎥⎦
                              l =0 ⎣

где
                                                    r −1
                                                         f (l ) (tk )
                        δ ( t ) = f (t ) −          ∑         l!
                                                                      ( t − tk )l .
                                                    l =0




                                                       24

Страницы