Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

26
Теорема 2.1.2. Пусть интеграл I
ϕ
вычисляется по квадратурной
формуле вида (2.1.1) при 1( 1,2,).pr r
=
−=K Тогда при 1 p
≤
<∞
1
11
1
(1 (1)) (1)
1
(1) .
1
2!(1)
r
q
rq
r
Np
rr
qq
r
oR
q
W
r
N
q
rrq
+
−
+
⎛⎞
+
⎜⎟
⎡⎤
ξ≥
⎜⎟
⎣⎦
−ν+
⎜⎟
+
⎝⎠
Теорема 2.1.3. Пусть интеграл I
ϕ
вычисляется по квадратурной
формуле вида (2.1.1) при 2( 2,4,6).pr r
=
−= Тогда при 1 p
≤
<∞
1
11
1
(1 (1)) (1)
1
(1) .
1
2!(1)
r
q
rq
r
Np
rr
qq
r
oR
q
W
r
N
q
rrq
+
−
+
⎛⎞
+
⎜⎟
⎡⎤
ξ≥
⎜⎟
⎣⎦
−ν+
⎜⎟
+
⎝⎠
Теорема 2.1.4. Среди всевозможных квадратурных формул ви-
да (2.1.1), использующих 2( 1), 1
N
r
ρ
+ρ=− значений подынтеграль-
ной функции для вычисления интеграла I
ϕ
, асимптотически опти-
мальной на классе (1), 1, 2, ,1
r
Wr
ρ
≤ρ<∞K является формула (2.1.3),
в которой
1
1
.
r
q
r
q
k
k
t
N
+
+
−
ν
⎛⎞
=±
⎜⎟
⎝⎠
Погрешность этой формулы равна
1
11
1
(1 (1)) (1)
1
.
1
2(1)!
r
q
rq
N
rr
qq
r
oR
q
R
r
N
q
rq r
+
−
+
⎛⎞
+
⎜⎟
=
⎜⎟
+−ν
⎜⎟
+
⎝⎠
Теорема 2.1.5. Среди квадратурных формул вида (2.1.2) асимпто-
тически оптимальной на классе
(1)
r
W
является формула
[]
(
)
1
11
()
1
1
1
1
,,
2(0)
",
!( 1 )
k
k
t
rN
k
kk
k
N
kkN
t
tt
F
tdR
kk
+
−−
+
+−ν−λ
ν+λ
=ν+ =−
ϕτ
ϕ
ϕ= + τ+
+−ν−λ
τ
∑∑
∫
(2.1.4) 
  Теорема 2.1.2. Пусть интеграл Iϕ вычисляется по квадратурной
формуле вида (2.1.1) при p = r − 1 (r = 1, 2,K). Тогда при 1 ≤ p < ∞
                                                                            r +1
                                                   r +1
                             (1 + o(1)) Rrq (1) ⎛⎜         ⎞                       q
                 ⎡  r ⎤                                 q ⎟                                1
              ξ N W p (1) ≥                                                                    .
                 ⎣       ⎦   r −1             1 ⎜r −ν+ 1 ⎟
                                                 ⎜       q ⎟⎠                          Nr
                            2 q r !( rq + 1) q ⎝
  Теорема 2.1.3. Пусть интеграл Iϕ вычисляется по квадратурной
формуле вида (2.1.1) при p = r − 2 ( r = 2, 4,6). Тогда при 1 ≤ p < ∞
                                                                            r +1
                                                      r +1
                                (1 + o(1)) Rrq (1) ⎛⎜         ⎞                    q
                                                           q ⎟                             1
              ξ N ⎡W p (1) ⎤ ≥
                     r
                                                                                               .
                  ⎣        ⎦    r −1             1 ⎜r −ν+ 1 ⎟
                                                    ⎜       q ⎟⎠                       Nr
                               2 q r !( rq + 1) q ⎝
   Теорема 2.1.4. Среди всевозможных квадратурных формул ви-
да (2.1.1), использующих 2 N (ρ + 1), ρ = r − 1 значений подынтеграль-
ной функции для вычисления интеграла Iϕ , асимптотически опти-
мальной на классе Wρr (1), r = 1, 2,K ,1 ≤ ρ < ∞ является формула (2.1.3),
                             r +1
                                    q
                 ⎛ k ⎞ r +1
в которой tk = ± ⎜ ⎟ q −ν . Погрешность этой формулы равна
                 ⎝N⎠
                                                                     r+ 1
                                                  r +1
                        (1 + o(1)) Rrq (1) ⎛⎜             ⎞                 q
                                                       q ⎟                        1
                  RN =                                                                 .
                        r −1          1     ⎜⎜ r + 1 − ν ⎟⎟                     Nr
                       2 q (rq + 1) q r ! ⎝          q    ⎠
   Теорема 2.1.5. Среди квадратурных формул вида (2.1.2) асимпто-
тически оптимальной на классе W r (1) является формула

                                                           ϕ([tk , tk +1 ] , τ)
       r −1                                 N −1  tk +1
               2ϕ(k ) (0)
Fϕ =   ∑   k !(k + 1 − ν − λ)
                              t1k +1−ν−λ +  ∑ ∫   "
                                                                 τ
                                                                     ν+λ
                                                                                  d τ + RN , (2.1.4)
    k =ν+1                                 k =− N     tk




                                           26

Страницы