Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

28
Доказательство
теоремы 2.1.1. Найдем верхнюю грань оценки снизу
погрешности квадратурных формул вида (2.1.1) на классе
(1)
r
W
.
Введем следующие обозначения:
[]
1
1
,( 0,1, , ); ln , ;
r
r
k
kN
skNMNl
NM
+
+−ν
±
⎛⎞ ⎡⎤
=± = = =
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎣⎦
K
*
k
N − число узлов квадратурной формулы (2.1.1) в сегменте
(
)
(1) (1)
,, ,,0,1,,,
kkNrN k rNkN
s
ssskl
+−+−
⎡⎤⎡ ⎤
Δ= ∇= =
⎣⎦⎣ ⎦
K
где
(1) (1)
1, 1.
def def
lN lN
ss
+−+
==−
Кроме того, введем обозначения:
() () () ()
() , () .
22
tt tt
tt
+−
ϕ+ϕ ϕ−ϕ
ϕ= ϕ=
При вычислении оценки снизу можно ограничиться сегмен-
том
[]
0, 1 . На этом сегменте построим функцию
*
()tϕ , равную нулю
при
[]
0, ,
M
ts∈ принадлежащую классу
(1)
r
W
и обращающуюся в
нуль вместе с производными до
(
)
1r
−
-го порядка включительно в
узлах
(1,2,,)
k
tk N= K квадратурной формулы (2.1.1) и в точках
(1,2,,1).
kM
sk l=+K
Кроме того, потребуем, чтобы
(1)
*
( ) 0, 0,1, , .
kM
kM
s
s
dk l
+
ϕτ τ≥ =
∫
K
Очевидно, что
(1)
1
*
*
(1)
1
0
() 1
()
kM
kM
s
N
rM
k
s
d
d
s
+
νν
+
=
⎡
ϕτ τ
⎢
=
ϕτ τ+
⎢
τ
⎢
⎣
∑
∫∫
   Доказательство теоремы 2.1.1. Найдем верхнюю грань оценки снизу
погрешности квадратурных формул вида (2.1.1) на классе W r (1) .
Введем следующие обозначения:
                              r +1
                  ⎛ k ⎞ r +1−ν                                        ⎡N⎤
         s± k = ± ⎜ ⎟          , (k = 0,1,K , N ); M = [ ln N ] , l = ⎢ ⎥ ;
                  ⎝N⎠                                                 ⎣M ⎦
    N k* − число узлов квадратурной формулы (2.1.1) в сегменте

                                         (                             )
        Δ k = ⎡⎣ skN , s( r +1) N ⎤⎦ , ∇ k = ⎡⎣ s−( r +1) N , s− kN ⎤⎦ , k = 0,1,K , l ,

             def                   def
где s(l +1) N = 1, s−(l +1)N = − 1.

   Кроме того, введем обозначения:
                               ϕ(t ) + ϕ(t )                   ϕ(t ) − ϕ(t )
                   ϕ+ (t ) =                     , ϕ− (t ) =                     .
                                          2                           2
   При вычислении оценки снизу можно ограничиться сегмен-
том [ 0,1] . На этом сегменте построим функцию ϕ* (t ) , равную нулю
при t ∈ [ 0, sM ] , принадлежащую классу W r (1) и обращающуюся в
нуль вместе с производными до ( r − 1) -го порядка включительно в
узлах tk (k = 1, 2,K, N ) квадратурной формулы (2.1.1) и в точках
skM (k = 1, 2,K, l + 1). Кроме того, потребуем, чтобы
                           s( k +1) M

                               ∫         ϕ* (τ)d τ ≥ 0, k = 0,1,K , l.
                              skM
   Очевидно, что
                   1 *                   N   ⎡          s( k +1) M
                       ϕ (τ)d τ                    1
                   ∫     τν
                                     =   ∑   ⎢
                                             ⎢ sν          ∫       ϕ* (τ)d τ +
                   0                   k =1 ⎢⎣ ( r +1) M skM




                                                  28

Страницы