Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
[]
(
)
1
1
1
34
1
() , ,
2.
k
k
t
n
kr
k
t
tt
II
+
−
+
ν
=
ϕτ −ϕ τ
+=+
τ
∑
∫
Оценим каждое слагаемое в отдельности:
1
1
1
(1)
3
( ) (0) (0) (0)
(1)!
r
r
t
t
r
Id
−
−
−
ν
τ
′
ϕ τ −ϕ −ϕ τ− −ϕ
−
=
τ≤
τ
∫
K
1
1()
0
1
0
() ()
221
;
(1)! !( 1)
rr
t
r
ttdt
d
rrr
N
τ
−
ν
+
τ− ϕ
≤τ≤⋅
−−ν+
τ
∫
∫
()
[]
()
1
1
1
4
1
,,
2
k
k
t
N
kk
k
t
tt
Id
+
−
+
ν
=
ϕτ−ϕ τ
=τ=
τ
∑
∫
11
11
()
1
10
()
2()()
(1)! (1)!
kk
kk
tt
Nr
kj
r
r
rjk
kj
tt
B
Kt
Kt t tdtd
rrj
++
−−
−ν
−+
==
⎛⎞
τ−
⎜⎟
=τ − −ϕτ=
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∑∑
∫∫
11
11
()
1
10
()
2() ()
(1)! (1)!
kk
kk
tt
Nr
kj
r
r
rjk
kj
tt
B
Kt
tKttddt
rrj
++
−−
ν
−+
−=
⎡⎤
⎡⎤
τ−
⎢⎥
⎢⎥
=ϕτ − −τ
⎢⎥
−−−
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫∫
,
(2.1.6)
где
1
, если 0;
()
0, если 0.
r
r
tt
Kt
t
−
⎧
⎪≥
=
⎨
<
⎪
⎩
Зафиксировав произвольное значение
t , получаем три возможности:
1)
1
1
0
()
();
(1)! (1)!
r
kj
r
rjk
j
B
Kt
Kt t
rrj
−
−+
=
τ−
≥−
−−−
∑
                              +2 ∑
                                  n −1 tk +1 ϕ( τ) − ϕ           ([tk , tr +1 ] , τ )   = I3 + I 4 .
                                           ∫
                                  k =1 tk                         τν

    Оценим каждое слагаемое в отдельности:
                                                                                           r −1
                       t1   ϕ( τ) − ϕ(0) − ϕ′(0)τ − K − ϕ( r −1) (0) τ
                                                                                                  ( r − 1)!
          I3 =         ∫                                            τ   ν
                                                                                                              dτ ≤
                   t−1

                                       τ
                                                    r −1 ( r )
                  2
                                  t1   ∫ (τ − t )        ϕ       (t )dt
                                                                                          2        1
             ≤
               (r − 1)!
                        0
                                  ∫                  τ   ν
                                                                            dτ ≤                 ⋅
                                                                                   r !(r − ν + 1) N r +1
                                                                                                         ;
                                  0

                                               N −1 tk +1 ϕ ( τ ) − ϕ
                                                                            ([tk , tk +1 ], τ ) d τ =
                                  I4 = 2       ∑ ∫                           τν
                                               k =1 tk

      N −1tk +1             tk +1 ⎛               r −1 Bkj                         ⎞
      ∑∫               −ν        ⎜ K r (τ − t ) −            ∑
 =2                τ          ∫  ⎜ (r − 1)! j =0 (r − 1 − j )!
                                                               Kr − j (tk +1 − t ) ⎟ ϕ(r ) (t )dtd τ =
                                                                                   ⎟
      k =1 tk                 tk ⎝                                                 ⎠

      N −1 tk +1                    ⎡tk +1 ⎡                                                    ⎤ ⎤
                                             K (τ − t ) r −1      Bkj
=2    ∑∫           ϕ   (r )
                              (t ) ⎢ τν ⎢ r
                                   ⎢   ∫   ⎢ (r − 1)!
                                                       −                ∑
                                                              (r − 1 − j )!
                                                                            K r − j (tk +1− t ) ⎥ d τ ⎥ dt ,
                                                                                                ⎥ ⎥
      k −1 tk                      ⎢⎣ tk   ⎣             j =0                                   ⎦ ⎥⎦
                                                                                                   (2.1.6)
               ⎧⎪t r −1 , если t ≥ 0;
где K r (t ) = ⎨
                ⎪⎩ 0, если t < 0.
    Зафиксировав произвольное значение t , получаем три возможности:

         K r ( τ − t ) r −1       Bkj
    1)
          (r − 1)!
                      ≥           ∑
                             ( r − 1 − j )!
                                            K r − j (tk +1 − t );
                        j =0



                                                                  31

Страницы