Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 33 стр.

     Продолжая начатые выкладки, имеем
                   tk +1 ⎛                                                       ⎞
        N −1
               1    ( tk +1 − t )r r −1 Bkj ( tk +1 − tk )                                ln N
        ∑ ∫                                ∑
                                                                        r − j +1 ⎟
I 4≤ 2            ⎜               −                        ( tk +1− t )            dt + A        ≤
                                    j =0 (
             ν    ⎜
       k =1 tk tk ⎝
                          r!               r − 1 − j )!                          ⎟        N r +1
                                                                                 ⎠
                                                     r +1
                                     ⎛ tk +1 − tk ⎞
                              N −1 2 ⎜             ⎟ Rrq (1)
                          2          ⎝      2      ⎠            ln N
                        ≤    ∑
                          r ! k =1                    ν
                                            ( r + 1) tk
                                                             +A
                                                                N r +1
                                                                       =


      4 Rrq (1) N −1 ( tk +1 − tk )r +1             ln N  Rrq (1) (1 + o(1) ) ⎛ r + 1 ⎞r +1
=                     ∑
    ( r + 1)!2r +1 k =1          tkν
                                               +A       =                     ⎜          ⎟ .
                                                  N r +1 2r −1 ( r + 1)! N r ⎝ r + 1 − ν ⎠

   Корнейчук Н. П. показал, что Rr1 (1) = r + 1 r . Подставляя это
                                               2
значение в предыдущее неравенство, имеем
                                                                      r +1
                                           2 + o(1) ⎛ r + 1 ⎞
                                 I4 ≤                 ⎜           ⎟          .
                                           4r r ! N r ⎝ r + 1 − ν ⎠
   Собирая полученные оценки погрешности квадратурной формулы
и сравнивая их с величиной функционала ξ N ⎡W r (1) ⎤ , завершаем
                                            ⎣       ⎦
доказательство теоремы 2.1.1.
  Доказательство теоремы 2.1.2 подобно доказательству теоре-
мы 2.1.1. Поэтому отметим лишь места, в которых доказательства
имеют некоторые различия.
  Введем следующие обозначения:
                                r+ 1
                                       q
                                                               def           def
                   ⎛ kM ⎞ r −ν+ 1
          s± k = ± ⎜       ⎟      q , k = 0,1,K , l + 1, s−l −1 = − 1, s = 1,
                   ⎝ N ⎠                                                l +1




           M = [ ln N ] , l = ⎡ N ⎤ .
                              ⎣ M⎦



                                                    34