Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

36
()()
()
1
1
1
1
11
1
1
1
(1)
2! 1 2
1(1)
r
l
p
rq
kk
r
r
qp
k
r
kk rq
R
ss
I
rrq l
sN R
+−
+
=
ν
+
−
≥≥
⎛⎞
+
⎡⎤
−+
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∑
()()
1
1
11 1
1
1
1
(1 (1)) (1)
1
1
2! 1 2
1(1)
r
q
r
l
q
rq
r
r
r
qp q
k
r
krq
r
oR
M
q
r
rrq l
q
N
NR
+
+
+
=
⎛⎞
+
+
⎜⎟
≥=
⎜⎟
−ν+
⎜⎟
⎛⎞
+
⎝⎠
⎡⎤
−+
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∑
()
1
1
1
(1 (1)) (1)
1
.
1
2! 1
r
q
rq
r
r
q
r
oR
q
r
N
rrq
q
+
⎛⎞
+
+
⎜⎟
=
⎜⎟
−ν+
⎜⎟
+
⎝⎠
Перейдем к оценке
2
I
:
1
*
1
2
1
1
()
k
k
s
l
kk
kk
k
s
ss
Id
ss
+
νν
−
+
νν
+
=
−
=ϕττ≤
∑
∫
()
1
1
*( )
1
1
1
1
()
(1)!
k
kk
r
s
l
r
kk
kk
k
ss
ss
ttdtd
r
ss
+
−
τ
νν
+
νν
+
=
−
≤τ−ϕτ
−
∑
∫∫
().
r
oN
−
=
Из оценок
1
I
и
2
I
следует справедливость теоремы 2.1.2.
Доказательства теорем 2.1.3–2.1.8 аналогичны доказательствам
первых двух теорем и поэтому не приводятся. 
                                                                                               1
                         Rrq (1)                       l
                                                                     ( sk +1 − sk )r +1−           p
       I1 ≥
                               1            1      ∑                                                       r
                                                                                                               ≥
               2r r !( rq + 1) q ( 2l ) p k =1 ν ⎛                           1 ⎞
                                              sk +1 ⎜ N k − 1 + ⎡⎣ Rrq (1) ⎤⎦ r ⎟
                                                    ⎝                           ⎠
                                                       r+ 1
                             ⎛ r+ 1 ⎞                      q         r+ 1 l
      (1 + o(1))Rrq (1)      ⎜       q ⎟                       M         q
                                                                                                       1
≥
                1        1   ⎜       1 ⎟                        r+ 1
                                                                           ∑                                   1 ⎞r
                                                                                                                       =
  2r r !( rq +1) q ( 2l ) p ⎜⎝ r −ν + q ⎟⎠                     N q k =1 ⎛      ⎜ Nk −1 + ⎣⎡Rrq             (1)⎤ r
                                                                                                               ⎦   ⎟
                                                                               ⎝                                   ⎠
                                                                           r+ 1
                        (1 + o(1)) Rrq (1) ⎛⎜ r + q ⎞⎟
                                                    1                             q
                                                                                      1
                      =                                                                    .
                                       1 ⎜            1 ⎟
                        2r r !( rq + 1) q ⎜⎝ r − ν + q ⎟⎠                             Nr

  Перейдем к оценке I 2 :

                                                            sk +1
                                      l
                                          skν+1 − skν
                          I2 =      ∑     ν ν                  ∫     ϕ*− (τ)d τ ≤
                                    k =1 sk sk +1              sk

                              sk +1               τ                 r −1
           l
                skν+1 − skν               1
      ≤   ∑     ν ν            ∫      ( r − 1)!   ∫ (τ − t )           ϕ*( r ) (t )dtd τ = o( N − r ).
          k =1 sk sk +1        sk                 sk

  Из оценок I1 и I 2 следует справедливость теоремы 2.1.2.
   Доказательства теорем 2.1.3–2.1.8 аналогичны доказательствам
первых двух теорем и поэтому не приводятся.




                                                       36

Страницы