Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

39
*
**
2
*
0
1) ( ) (1);
2)min () ()0, 1,2,,;
2
3) ( ) .
r
k
r
r
W
s
kN
K
d
N
π
ϕσ∈
ϕσ=ϕ = =
π
ϕσ σ=
∫
K
Как показано в работе [31], такая функция существует.
Разделим сегмент
[
]
0; 2
π
на
N
равных частей точками
()
2
0,1, , .
k
k
vk N
N
π
==K
Возьмем произвольное разбиение
(1,2,,)
j
vj N
=
K
и представим интеграл в виде суммы
2
*
0
()
()
sin
2
j
j
p
Tv d
v
π
ϕσ
=σ≥
σ−
∫
1
1
2
*
1
()
sin
2
jk
jk
N
v
j
p
k
v
d
v
−
−−
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
=
ϕσ σ
+
σ−
∑
∫
1
2
2
*
1
()
sin
2
jk
jk
N
v
j
p
k
v
d
v
++
+
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
=
ϕσ σ
≥
σ−
∑
∫
1
1
1
2
**
1
1
() () .
(1)
sin
kj jk
kj jk
N
vv
p
k
vv
dd
k
N
++ −
+−−
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
=
⎤
⎥
≥ ϕσσ+ ϕσσ
⎥
+π
⎥
⎦
∑
∫∫
Поскольку максимальное значение функции
*
()Tsϕ не меньше
его среднего значения, то
**
1
1
max ( ) ( ) .
N
j
j
Ts Tv
N
=
⎡⎤ ⎡ ⎤
ϕ≥ ϕ
⎣⎦ ⎣ ⎦
∑
Усредним суммы ()
j
Tv :
1
1
() ( )
N
j
j
Ts Tv
N
=
ϕ
≥=
∑
   1) ϕ* (σ) ∈ W r (1);
   2) min ϕ* (σ) = ϕ* ( sk ) = 0, k = 1, 2,K, N ;
         2π
                             2πK r
         ∫ ϕ ( σ) d σ =
               *
   3)                                 .
         0
                               Nr

   Как показано в работе [31], такая функция существует.
   Разделим сегмент                 [0; 2π]           на       N   равных частей точками
    2πk
vk =    ( k = 0,1,K, N ) . Возьмем произвольное разбиение vj ( j =1,2,K, N)
     N
и представим интеграл в виде суммы

                                 ⎡N⎤                                    ⎡N⎤
        2π                       ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1 v j −k         *            ⎢⎣ 2 ⎥⎦−2 v j +k +1
                ϕ*(σ)                          ϕ (σ)d σ                   ϕ* (σ)d σ
        ∫
T (v j ) =
                 p σ− v j
                          dσ≥       ∑ ∫          p σ − vj
                                                          +               ∑ ∫
                                                                            p σ−vj
                                                                                    ≥
           0 sin              k =1 v j −k −1 sin            k =1 v j +k sin
                    2                                2                          2

               ⎡N ⎤
               ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1            ⎡ vk + j +1              v j −k              ⎤
                           1         ⎢
             ≥   ∑                               ∫
                                                  *
                                                 ϕ (σ) d σ +            ϕ (σ) d σ ⎥ .
                                                                         *
                                                                          ∫
                        p ( k + 1) π ⎢                                            ⎥
               k =1 sin              ⎢⎣ vk + j               v j − k −1           ⎥⎦
                              N

   Поскольку максимальное значение функции                                       T ϕ* ( s ) не меньше
его среднего значения, то
                                                               N
                                                1
                            max ⎡T ϕ* ( s ) ⎤ ≥
                                ⎣           ⎦ N        ⎣       ∑
                                                       ⎡T ϕ* (v j ) ⎤.
                                                                    ⎦
                                                  j =1

   Усредним суммы T (v j ) :

                                                        N
                                                     1
                                    T ϕ( s ) ≥         ∑
                                                     N j =1
                                                           T (v j ) =



                                                      39

Страницы