Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
()
() ()
(1) (1)
0
1!
() ()
lim
2
pp
LL
p
dd
tn tn
−−
η→
⎧
⎡
⎤
−
ϕ
ττ ϕ ττ
⎪
⎢
⎥
≤+−
⎨
τ− − η τ− + η
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎩
∫∫
rr
() ()
(1) (1)
() ()
pp
LL
dd
tnh tnh
−−
⎫
⎡⎤
ϕττϕττ
⎪
⎢⎥
−+ +
⎬
τ− − τ− +
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎭
∫∫
rr
() ()
1
1
0
1()
()
2
k
k
t
N
k
pp
k
Lt
dd
t
tnh tnh
+
−
=
ϕτ τ τ
′
+
−ϕ +
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− − ⎤
⎣⎦ ⎣⎦
∑
∫∫
rr
() ()
()
()
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1()
()
2
1
() ()
2
1
() ()
2
k
k
k
k
k
k
t
N
k
pp
k
Lt
t
N
kk
p
k
t
t
N
kk
p
k
t
dd
t
tnh tnh
d
tt
tnh
d
tt
tnh
+
+
+
−
=
−
=
−
=
ϕτ τ τ
′
+
−ϕ +
⎡τ− + ⎤ ⎡τ − + ⎤
⎣⎦ ⎣⎦
τ
′′
+ϕ−ϕ +
τ− −
τ
′′
+ϕ−ϕ ≤
τ− +
∑
∫∫
∑
∫
∑
∫
rr
%
r
%
r
123456
1
().
2
rr r r r r≤+++++
Оценим каждое слагаемое в отдельности:
() ()
1
0
() ()
lim
pp
L
rd
tnh tn
η→
⎡⎤
ϕτ ϕτ
⎢⎥
=−τ≤
⎢⎥
⎡τ− + ⎤ ⎡τ− + η ⎤
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
∫
rr
()
()
()
(1) (1)
0
() ()
1!lim
pp
L
pd
tnh tn
−−
η→
⎡⎤
ϕτ ϕτ
≤
−−τ≤
⎢⎥
⎡τ− + ⎤ ⎡τ− + η ⎤
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
∫
r
                    ( p − 1!) ⎧⎪ ⎡⎢     ϕ( p −1) (τ) d τ   ϕ( p −1) (τ) d τ ⎤
         ≤ lim
             η→0        2
                                  ⎨
                                    ⎢ ∫
                                 ⎪⎩ ⎣ L τ −  ( t −
                                                   r +
                                                   n η )   τ −∫ ( t +
                                                                      r ⎥−
                                                                      n η) ⎥
                                                         L                  ⎦

                     ⎡ ϕ( p −1) (τ)d τ     ϕ( p −1) (τ)d τ ⎤ ⎫⎪
                    −⎢ ∫          r
                     ⎢ τ − ( t − nh )
                                       +          ∫   r ⎥⎬ +
                                           τ − ( t + nh ) ⎥ ⎪
                     ⎣L                  L                 ⎦⎭

                                          N −1         tk +1
        1           ϕ(τ)d τ                                    dτ
      +       ∫            r p
                                  −       ∑
                                          ϕ(tk′ )        ∫        r p
                                                                        +
        2
              L ⎡τ
                ⎣  − ( t − nh ) ⎤
                                ⎦   k = 0         t   ⎡τ
                                                    k ⎣
                                                         − ( t − nh ) ⎤
                                                                      ⎦

                                  N −1                tk +1
         1        ϕ(τ)d τ                                  dτ
     +       ∫           r p
                                −         ∑
                                       ϕ(tk′ )         ∫      r p
                                                                   +
         2    ⎡τ
             L⎣  − ( t + nh ) ⎦ k =0
                              ⎤                   ⎡τ
                                               tk ⎣  − ( t + nh )⎦
                                                                 ⎤

                    N −1                      t
                                             k +1
                  1                                    dτ
             +      ∑    ϕ(tk′ ) − ϕ% (tk′ )      ∫       r p
                                                               +
                                             tk τ − ( t − nh )
                  2 k =0

                                             tk +1
                  1 N −1                                dτ
             +      ∑    ϕ(tk′ ) − ϕ% (tk′ )      ∫        r p
                                                                ≤
                                              tk τ − ( t + nh )
                  2 k =0

                            1
                           ≤ (r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6 ).
                            2
Оценим каждое слагаемое в отдельности:

                     ⎡                                     ⎤
                     ⎢       ϕ(τ)              ϕ(τ)        ⎥ dτ ≤
         r1 = lim      ∫
                 η→0 ⎢ ⎡τ − ( t + nh
                                  r p
                                      ⎤
                                        −
                                     )⎦ ⎣ (
                                          ⎡τ − t +
                                                   r
                                                   n η
                                                          p⎥
                                                       )⎦ ⎦
                                                        ⎤
                    L⎣⎣

                           ⎡ ϕ( p −1) (τ)         ϕ( p −1) (τ) ⎤
      ≤ ( p − 1)! lim      ⎢ ∫         r      −                   ⎥ dτ ≤
                      η→0 ⎢ ⎡τ
                           ⎣ ⎣ − ( t + nh ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                ⎣ − ( t + nη )⎤⎦ ⎦⎥
                         L




                                            58

Страницы