Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

81
()
()
()( )
12
12
1, 1
12
12 1 2 3 4
1111 2 222
,
.
pp
LL
Dtt
dd I I I I
tnh t nh
−−
ϕ
+ττ=+++
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ − −
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
uuruur
Второй, третий и четвертый интегралы (I
2
– I
4
) справа вычислим
по формуле Коши
()
()
(
)
()
()( )
()
()
()
()
()
12 12
12
12 12
2
1, 1 1, 1
12 12
212
1111 2 222
1, 1 1, 1
12 12
2
2222
111 1
,,
,,
2,если лежит внутри ,
0 в остальных случаях;
pp pp
LL
pp pp
L
DtDtt
Idd
tnh t nh
DtDtt
d
tnh
itnh L
−− −−
−− −−
ϕτ− ϕ
=ττ=
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
ϕτ− ϕ
=τ×
⎡τ − − ⎤
⎣⎦
π−
⎧
×
⎨
⎩
∫∫
∫
rr
r
r
(
)
()
(
)
()
()
12 12
1
1, 1 1, 1
12 12
31
1111
222 2
,,
2,если лежит внутри ,
0 в остальных случаях;
pp pp
L
DtDtt
Id
tnh
itnh L
−− −−
ϕτ − ϕ
=τ×
⎡τ − − ⎤
⎣⎦
π−
⎧
×
⎨
⎩
∫
r
r
()
()
()
()
()
()
12
12
12
1, 1
12
412
1111 2 222
1, 1
12
2
111 12 22 2
,
,
4,если лежит внутри лежит внутри ;
0 в остальных случаях.
pp
LL
pp
dd
ID tt
tnh t nh
Dtt
tnh Lи tnh L
−−
−−
τ
τ
=ϕ =
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
=ϕ×
⎧
−π − −
⎪
×
⎨
⎪
⎩
∫∫
rr
rr
Таким образом, все интегралы, за исключением
1
I
, сводятся к од-
номерным интегралам. Оценка погрешности кубатурной форму-
лы (3.2.2) следующая: 
                           D(
                                p1 −1, p2 −1)
                                   ϕ ( t1 , t2 )
   +   ∫∫              (
                         uur
                                      )
                                                 uur
                                                  (
             ⎡ τ1 − t1 − n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤
                                                       d τ1d τ2 = I1 + I 2 + I3 + I 4 .
                                                              )
       L1 L2 ⎣                ⎦⎣                     ⎦
   Второй, третий и четвертый интегралы (I2 – I4) справа вычислим
по формуле Коши

                       D(
                            p1 −1, p2 −1)
                                          ϕ ( t1 , τ2 ) − D( 1      2 )ϕ t , t
                                                             p −1, p −1
                                                                           ( 1 2 ) dτ dτ =
        I2 =   ∫∫                             r
                                ⎣ 1 − ( t1 − n1h1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                ⎡τ
                                                                     r
                                                        ⎣ 2 − ( t2 − n2 h2 ) ⎤⎦
                                                                                     1 2
               L1 L2

                     D(
                           p1 −1, p2 −1)
                              ϕ ( t1 , τ2 ) − D( 1     2 )ϕ t , t
                                                            p −1, p −1
                                                           ( 1 2 )d τ ×
             =   ∫                            r
                               ⎣ 2 − ( t2 − n2 h2 ) ⎤⎦
                               ⎡τ
                                                                     2
                 L2
                                       r
                     ⎧ 2πi,если t1 − n1h1 лежит внутри L1 ,
                    ×⎨
                     ⎩0 в остальных случаях;

                           D(
                                p1 −1, p2 −1)
                                   ϕ ( τ1 , t2 ) − D( 1     2 )ϕ t , t
                                                              p −1, p −1
                                                                ( 1 2 )d τ ×
             I3 =    ∫                             r
                                     ⎣ 1 − ( t1 − n1h1 ) ⎤⎦
                                     ⎡τ
                                                                          1
                     L1
                                         r
                        ⎧2πi, если t2 − n2 h2 лежит внутри L2 ,
                      ×⎨
                        ⎩0 в остальных случаях;
                                                      dτ                      dτ
  I 4 = D(
             p1 −1, p2 −1)
                             ϕ ( t1 , t2 )   ∫ ⎡τ         1
                                                            r       ∫            2
                                                                                   r         =
                                             L1⎣ 1 − ( t1 − n h )
                                                             1 1 ⎦⎤
                                                                   L2
                                                                      ⎡τ
                                                                      ⎣ 2 − ( t 2 n2 h2 ) ⎤⎦
                                                                                 −

  = D(
         p1 −1, p2 −1)
               ϕ ( t1 , t2 ) ×
  ⎧⎪−4π2 , если t1 − nr1h1 лежит внутри L1 и t2 − nr2 h2 лежит внутри L2 ;
 ×⎨
   ⎪⎩0 в остальных случаях.

  Таким образом, все интегралы, за исключением I1 , сводятся к од-
номерным интегралам. Оценка погрешности кубатурной форму-
лы (3.2.2) следующая:




                                                      81

Страницы