ВУЗ:
Составители:
53
вклад в неевклидову геометрию. В 1832 г. он опубликовал свою рабо-
ту в приложении к книге своего отца, известного математика Ф. Бой-
яи.
В неевклидовой геометрии сохраняются все теоремы евклидовой
за исключением тех, при доказательстве которых используется пятый
постулат о параллельных. Такие теоремы изменяются. Так, например,
теорема о сумме углов треугольника: в геометрии Лобачевского эта
сумма всегда меньше 180
°. Следует отметить, что в геометрии Бойяи
эта же сумма всегда больше 180
°. Казалось бы, противоречие налицо.
Тем более, что вслед за Лобачевским и Бойяи математики создали и
исследовали множество различных вариантов неевклидовых геомет-
рий. Но в том же XIX в. немецкий ученый Г. Ф. Б. Риман сделал пред-
положение, что существует множество геометрических пространств, и
указал способ построения бесконечно большого числа геометрий. Та-
кие пространства локально (в малой окрестности любой точки) явля-
ются евклидовыми, а в больших масштабах — искривленными. Все
они являются частными случаями риманова пространства.
Риманово пространство.
Как и в евклидовом пространстве, в
римановом понятие длины или, как говорят, метрики является глав-
ным. Не вдаваясь в подробности вывода, запишем выражение для бес-
конечно малого элемента длины
dl g dz dz
ij
ij2
= , (6.4)
где g
ij
— положительно определенная матрица (det g
ij
> 0), элементами
которой, в общем случае, являются функции координат z
i
, i = 1,..., n
(матрица g
ij
в физико-математической литературе чаще называется
метрическим тензором).
Угол между двумя векторами
(
)
r
ax x
n1
,..., и
(
)
r
by y
n1
,..., в точке
()
Az z
AA
n1
,..., по-прежнему определяется формулой (6.2), причем ска-
лярное произведение имеет вид
()
(
)
r
r
ab g z z xy
ij A A
nij
, ,...,=
1
. (6.5)
В формуле (6.5) предполагается суммирование по повторяющимся
индексам.
Таким образом, скалярное произведение, а значит и геометрия
пространства, полностью определяется метрическим тензором. Если
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
