ВУЗ:
Составители:
54
компоненты тензора постоянны, не зависят от координат, то говорят,
что пространство плоское, а если компоненты тензора зависят от ко-
ординат, то пространство искривленное.
Пример 1. Евклидова метрика.
Для n = 3 зададим матрицу g
ij
в следующем виде:
g
ij
=
100
010
001
. (6.6)
Тогда квадрат дифференциала длины равен
(
)
(
)
(
)
dl dz dz dz
21
2
2
2
3
2
=++
. (6.7)
Видно, что (6.7) совпадает с формулой (6.1), если в последней перейти
к бесконечно близким точкам.
Используя (6.5), запишем выражение (6.2) для скалярного произ-
ведения:
()
r
r
ab xy x y x y xy
ii
i
n
, =+ + =
∑
11 2 2 3 3
.
Таким образом, метрика вида (6.6) определяет евклидово про-
странство, которое является частным случаем риманова пространства.
Пример 2. Метрика сферы.
Для метрики сферы выражение для квадрата дифференциала
длины в сферических координатах имеет вид
(
)
dl R d d
222 2 2
=+
θθϕ
sin , (6.8)
где R — радиус сферы; 0
≤
ϕ
≤ 2
π
— полярный угол; 0 ≤
θ
≤ π — ази-
мутальный угол.
Найдем длину окружности радиуса r на сфере. Центр окружности
разместим на северном полюсе (точка N при
θ
= 0, рис. 6.2). Если ра-
диус окружности мал, то он равен r = R sin
θ
0
≈ R
θ
0
. Поскольку угол
θ
0
≈ r/R фиксирован, то на окружности имеем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
