ВУЗ:
Составители:
68
()
0
0
=
+
+
+
xxxxt
uuucu
β
(24.4)
Уравнение (24.4) называют уравнением Кортевега — де Вриза (КдВ).
Здесь
β
— коэффициент дисперсии, с
0
— скорость распространения
линейной волны (т. е. обычной периодической волны малой амплиту-
ды) в данной среде.
Представив решение упрощенного уравнения КдВ без нелиней-
ного слагаемого (
uu
x
= 0), в виде плоской бегущей волны
(
)
kxti
euu
−
=
ω
0
(
u
0
— амплитуда волны,
ω
- частота, k =
ω
/c
0
— волновое число), по-
лучаем, что
u
t
= i
ω
u, u
x
= – iku, u
xxx
= ik
3
u. Подставляя эти выражения в
(24.4), получаем
3
0
kkc
βω
−= . (24.5)
Уравнение (24.5) называется
дисперсионным уравнением для
уравнения КдВ. Оно выражает зависимость фазовой скорости волны
V
(в общем случае нелинейной) от частоты:
2
0
kc
k
V
β
ω
−== .
Отсюда видно, что в отсутствие дисперсии (
β
= 0) V = c
0
.
24.3. Фазовый портрет нелинейных волн в диссипативной
среде. Возможные решения уравнения КдВ
Вводя новую переменную
v = u – c
0
, приведем уравнение КдВ к
более простому виду
0
=
+
+
xxxxt
vvvv
β
. (24.6)
Перейдем в (24.6) от
x к так называемой «бегущей координате»
ξ
= x ––Vt. Тогда v
x
= dv/d
ξ
, v
t
= – Vdv/d
ξ
, а (24.6) примет вид
()
0
3
3
=−+
ξ
ξ
β
d
dv
Vv
d
vd
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
