Составители:
Рубрика:
10
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
aaa aaa
aaa aaa
aaa aaa
Δ= =
,
где
AΔ=det .
Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой
строки. В результате получаем одно и то же выражение.
2. Определитель равен сумме попарных произведений элементов лю-
бой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Докажем, например, равенство
31 31 32 32 33 33
aA aA aAΔ= + + .
По определению
11 11 12 12 13 13
aA aA aA
Δ
=++
.
Тогда
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
aa aa aa
aaa
aa aa aa
Δ= + + =
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31
31 12 23 13 22 32 11 23 13 21 33 11 22 12 21
12 13 11
31 32
22 23
()()()
()()()
aaa aa aaa aa aaa aa
aaa aaa aaa aaa aaa aaa
aaa aa aaa aa aaa aa
aa a
aa
aa
=−−−+−=
=−−++−=
=−−−+−=
=−
13
11 12
33
21 23
21 22
31 31 32 32 33 33
,
a
aa
a
aa
aa
aA aA aA
+=
=++ т.е.
31 31 32 32 33 33
aA aA aAΔ= + + .
Истинность данного утверждения для другой строки или любого столбца
доказывается аналогично.
3. При перестановке двух строк определитель меняет знак на проти-
воположный.
Доказательство. Пусть в матрице третьего порядка перестановлены
первая и третья строки. Покажем, что
11 12 13 31 32 33
21 22 23 21 22 23
31 32 33 11 12 13
aaa aaa
aaa aaa
aaa aaa
=−
.
Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (3), по эле-
ментам первой строки, получим
11 11 12 12 13 13
aA aA aA
+
+ .
Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по
элементам третьей строки, получим
(1)
(2)
(3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
