Составители:
Рубрика:
11
31 32 33
21 22 23 11 23 32 22 33 12 31 23 21 33 13 31 22 21 32
11 12 13
11 11 12 12 13 13 11 11 12 12 13 13
()()()
() () ()( ),
aaa
aaa aaaaa aaaaa aaaaa
aaa
aA aA aA aAaAaA
=
−− −+ −=
=− +− +− =− + +
т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.
4. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен
нулю.
Доказательство. Пусть
Δ
–
определитель матрицы с двумя одинако-
выми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель
должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не
изменится. Т.е. имеем
Δ
−=Δ , откуда 02
=
Δ
⋅
или 0
=
Δ
.
5. Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на
число, то весь определитель умножится на это число.
Доказательство. Покажем, например, что
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
aaa aaa
ka ka ka k a a a
aaa aaa
⋅⋅⋅=⋅
.
Разложим по элементам второй строки. Тогда левая часть равенства
может быть записана так:
21 21 22 22 23 23 21 21 22 22 23 23
()()() ( )ka A ka A ka A k aA ka A a A k⋅+⋅+⋅=⋅+ +=⋅Δ
,
где
Δ
–
определитель матрицы A .
Это свойство иногда формулируют так: общий множитель всех элемен-
тов строки можно выносить за знак определителя.
6. Определитель, у которого соответствующие элементы двух
строк пропорциональны, равен нулю.
Доказательство. Пусть, например, элементы третьей строки пропор-
циональны элементам первой, т.е.
31 11
aka
=
⋅ ,
32 12
aka
=
⋅ ,
33 13
aka=⋅ .
Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
11 12 13 11 12 13
0
aaa aaa
aaakaaa
ka ka ka a a a
=
⋅=
⋅⋅⋅
.
7. Определитель, у которого все элементы какой-либо строки пред-
ставляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей,
получаемых из данного заменой элементов рассматриваемой строки со-
ответственно на первые и вторые слагаемые.
Доказательство. Пусть, например,
11 11 11
aa a
′
″
=+
,
12 12 12
aa a
′
″
=+
,
13 13 13
aa a
′″
=+.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
