Составители:
Рубрика:
16
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений третьего по-
рядка
11 1 12 2 13 1 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
++=
⎫
⎪
++=
⎬
⎪
++=
⎭
.
Исключая по очереди неизвестные
1
x
,
2
x
и
3
x
, переходим к формулам
1
1
Δ⋅ =Δx
x
,
2
2
x
x
Δ
⋅=Δ
,
3
3
Δ
⋅=Δx
x
,
где
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
Δ= – определитель системы (1).
11213
22223
1
33233
ba a
ba a
x
ba a
Δ= ,
11 1 13
21 2 23
2
31 3 33
aba
aba
x
aba
Δ= ,
11 12 1
21 22 2
3
31 32 3
aab
aab
x
aab
Δ= .
Система (2) эквивалентна системе (1), т.е. каждое решение системы (1)
является решением системы (2) и наоборот. Запись в виде (2) позволяет
легко исследовать систему (1). Рассмотрим два случая: определитель
Δ
ра-
вен нулю и определитель
Δ
отличен от нуля.
Пусть
0≠Δ . В этом случае система (2) имеет единственное решение
1
1
x
x
Δ
=
Δ
,
2
2
x
x
Δ
=
Δ
,
3
3
x
x
Δ
=
Δ
.
Эти формулы называют формулами Крамера. В знаменателе стоит оп-
ределитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а в числи-
телях – определители
i
Δ
, получающиеся из
Δ
заменой i -го столбца
столбцом свободных членов
(1,2,3)i
=
.
Пусть
0Δ= . Здесь возможны два случая.
a) Хотя бы один из определителей
1
x
Δ
,
2
x
Δ
,
3
x
Δ
в системе (2) отли-
чен от нуля. Пусть для определенности
1
0
x
Δ
≠ . Тогда уравнение
1
1
x
x
Δ⋅ =Δ не может быть удовлетворено никаким значением неизвестно-
го. Следовательно, система (2), а значит и исходная система (1) несо-
вместная.
б) Все определители
1
x
Δ ,
2
x
Δ
,
3
x
Δ
равны нулю. В этом случае (при-
мем это пока без доказательства) система (1) имеет бесчисленное мно-
жество решений.
Приведенные выше формулы Крамера и рассуждения справедливы для
линейных систем любого порядка. Более подробное исследование систем
будет проведено в главе IV.
(1)
(2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
