Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

27
acos
acos
acos
x
y
z
a
a
a
α
β
γ
⎫
=⋅
⎪
=⋅ =>
⎬
⎪
=⋅
⎭
222
1
cos
a
cos cos cos cos .
a
cos
a
x
y
z
a
a
a
α
βαβγ
γ
⎫
=
⎪
⎪
⎪
⎪
=
=> + + =
⎬
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎭
Теорема 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих
векторов на эту же ось, т.е.
(a b) a b
lll
+
=+пр пр пр .
Доказательство.
0
l)( ⋅=
′′
ABпрBA
l
;
0
l)( ⋅=
′′
BCпрCB
l
;
0
l)( ⋅=
′′
ACпрCA
l
С другой стороны (рис. 2.4.3),
000
lb)a(lb)(la)( ⋅+=⋅+⋅=
′′
llll
прпрпрпрCA .
Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем
bab)(a
lll
прпрпр
+
=
+
.
Пример 1. Найти координаты вектора
AB и его длину, если известны
координаты его начала
(,,)
AAA
Ax y z и конца (,,)
B
BB
Bx y z – (рис. 2.4.4).
Решение.
Проведем радиус-векторы точек A и B:
1
r и
2
r .
Ясно, что
rijk
AA A A
xyz=++
;
rijk
BB B B
xyz
=
++
=−= − + − + −rr ( )i( )j( )k
uuuur
BA B A B A B A
AB x x y y z z .
Итак, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вы-
честь соответственно координаты начала.
Мы получили ранее, что если
a(,,)
xy
z
aaa
=
, то
222
=
++a
z
aaa. Сле-
довательно,
222
()()()
BA BA BA
AB x x y y z z=−+−+−
uuuur
. Заметим, что по
этой формуле удобно вычислять расстояние между двумя точками, если
известны их координаты.
Теорема 3. При умножении вектора
a на число
λ
его проекция на ось
также умножается на это число, т.е.
aa)(
ll
прпр
⋅
=
λ
λ
.
(Без доказательства).
Рис. 2.4.3
Рис. 2.4.4
0
l
l
A
′
B
′
C
′
A
B
C
a
b
x
y
z
0
A
B
a
a
r
b
r

Страницы