Составители:
Рубрика:
29
Решение. Напомним, что два вектора a и b коллинеарны, если они ле-
жат на параллельных прямых или на одной прямой, а тогда, как было отме-
чено выше, они линейно зависимы. Следовательно, существует некая кон-
станта c такая, что имеет место соотношение
abc
=
⋅ .
Откуда следует, что
23i
j
k(i
j
k)c
λ
μ
++ = ++ . Значит
23
λ
μ
−+−+− =()i()
j
()k0ccc.
Так как векторы
i ,
j
, k линейно независимы, ибо они представляют со-
бою базис, то должны обращаться в ноль коэффициенты этой линейной
комбинации, т.е.
0
20
30
λ
μ
−=
⎫
⎪
−=
⎬
⎪
−
=
⎭
c
c
c
.
Из второго уравнения имеем
2
=
c ; подставляя его в первое и третье
уравнения, получим значения интересующих нас констант:
2
λ
= ,
3
2
μ
= .
§5 Скалярное произведение и его свойства.
1 Определение скалярного произведения
Определение. Скалярным произведением
ba
⋅
двух ненулевых векто-
ров
a и bназывается число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними, т.е.
ab a bcos(a,b)
∧
⋅= ⋅ ⋅ .
Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение
этих векторов равно нулю (по определению).
Если
ab= , то
2
aa a⋅=
, так как
1cos(a,a)
∧
=
.
Отсюда следует, что
aaa=⋅.
Заметим, что скалярное произведение
aa
⋅
называется скалярным квад-
ратом и обозначается
2
a
. Следовательно,
2
2
2
aaaa =⇒= . Заметим, что
иногда скалярное произведение обозначают
(a,b).
Свойства скалярного произведения
1) скалярное произведение можно определить через проекцию
abbaba
ba
прпр ⋅=⋅=⋅ .
Действительно,
∧
=⋅
a
bbcos(a,b)пр , но
∧
⋅= ⋅ ⋅ = ⋅
a
ab a b cos(a,b) a bпр , от-
сюда можно получить также
⋅
=
a
ab
b
a
пр
.
2) коммутативность:
ab ba
⋅
=⋅.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
