Составители:
Рубрика:
30
Это свойство очевидно, так как
cos(a,b) cos(b,a)
∧∧
=
.
3) ассоциативность относительно числового множителя
λ
:
λ
λλ
⋅=⋅ = ⋅(a)b a(b) (ab).
4) дистрибутивность относительного сложения векторов:
a(bc)abac⋅+=⋅+⋅.
Доказательство.
⋅+=⋅ +=⋅ + =⋅ +⋅ =⋅+⋅
aaaaa
() (bc)a(b c)a ba cabac
urrr ur
abc aпр пр пр пр пр
Следствие.
(a b) (c d) a c b c a d b d+ ⋅ + =⋅+⋅+⋅+⋅.
2 Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векто-
ров
Напомним, что два ненулевых вектора
a и b называются ортогональны-
ми, если они образуют прямой угол, т.е.
2
(a,b)
π
∧
=
.
Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны,
необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в
нуль.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы
a и b
ортогональны, тогда
00cos(a,b) a b
∧
==>⋅=
.
Достаточность. Пусть
0ab⋅=. Так как векторы ненулевые, то отсюда
следует, что
0cos(a,b)
∧
=
, а это и означает, что векторы a и b ортогональ-
ны.
3 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
Пусть
a(,,)
xyz
aaa=
,
b(,,)
xyz
bbb=
. Очевидно, что
22 2
1ijk== =;
0i
jj
i⋅=⋅=; 0ik ki⋅=⋅=; 0
j
kk
j
⋅=⋅=.
В силу свойства 4 получим
ab ( i
j
k) ( i
j
k)
xy z xyz
aaa bbb⋅= + + ⋅ + + =
+
+
xx yy zz
ab ab ab
.
В частности,
2222
zyx
aaa ++== aa .
4 Угол между двумя векторами
Если
a и b – ненулевые векторы, то, принимая во внимание определе-
ние вектора и п.4, получим такое выражение для угла
(a,b)
∧
между вектора-
ми a и b:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
