Составители:
Рубрика:
58
2 Гипербола и ее свойства
Определение. Гиперболой называется множество всех точек плос-
кости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная, равная
20 ()aa> .
Проведем ось
Ox через фокусы, выбрав начало координат в середине
отрезка, соединяющего фокусы, длина которого равна
2c (рис. 3.3.2). Фоку-
сы имеют координаты
1
0(,)
F
c− ,
2
0(,)
F
c . Ось
O
y
направим так, чтобы сис-
тема
xO
y
была бы правой. Проведя фокальные радиус- векторы
1
r и
2
r в
некоторую точку
(,)Mx
y
, в силу определения можем написать:
12
2rr a−=.
После преобразований, аналогичных выполняемым в п.1, обозначив
222
cab−=, получим каноническое уравнение гиперболы
22
22
1
xy
ab
−
= .
Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала ко-
ординат, состоит из двух веток, которые пересекаются с осью
Ox в точках
1
0(,)Aa− и
2
0(,)Aa , которые называются вершинами гиперболы. Отрезок
12
AA , длина которого равна 2a , называется его вещественной осью, в то
же время параметр
a называется вещественной полуосью гиперболы.
Точки
1
0(,)Bb
и
2
0(, )Bb−
называются мнимыми вершинами гипербо-
лы, отрезок
12
BB , длина которого равна 2b , называется мнимой осью ги-
перболы, а параметр
b – его мнимой полуосью.
Форму гиперболы характеризует эксцентриситет
c
a
ε
= . Ясно, что
1
ε
> , причем если эксцентриситет близок к единице, то ветви гиперболы
сильно прижаты к оси
Ox .
Рис. 3.3.2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
