Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

60
22
3()AM x y=++
uuuuur
,
22
OM x
y
=+
uuuur
, значит
22 22
32()x
y
x
y
+
+= +
.
Возведя в квадрат, получим
22
3()x
y
+
+=
22
44x
y
=+, откуда следует
2222
69 4 4xx
y
x
y
+++= + . Имеем
22
3369xyx
+
−=.
Упрощаем:
22
23xy x+−=
.
Выделяем полный квадрат:
22
21 31xx y
++ =+.
Окончательно имеем:
222
12()xy−+=. Получили окружность (рис. 3.3.5).
Пример 2. Найти сторону квадрата, вписанного в данный эллипс
22
22
1
43
xy
+
= (рис. 3.3.6).
Решение. В силу симметрии эллипса вершины квадрата, вписанного в
эллипс, имеют координаты:
1
(,)Mmm
,
2
(,)Mmm
−
,
3
(,)Mmm−
,
4
(, )Mm m− , 0()m > . Искомая длина стороны квадрата
2dm
=
. Координа-
ты точки
1
M удовлетворяют уравнению эллипса, потому имеем
22
22
1
43
mm
+= =>
22 22 22
3434
+
=⋅mm => 2 4,m
=
.
Итак, длина стороны квадрата 48,d
=
.
Пример 3. Найти уравнение траектории точки, которая, перемещаясь по
плоскости
xO
y
, остается в два раза дальше от точки 40(,)A , чем от пря-
мой
1x =
(рис. 3.3.7).
Решение. Рассмотрим векторы
4()ijAM x y
=
−+
u
uuuur
и
1()iBM x=−
uuuuur
.
Должно быть
BMAM ⋅= 2 , т.е.
22
421()xyx
−
+=⋅−. Возводя в квадрат,
получим
22 2
441() ()xyx−+= −. После упрощения имеем гиперболу
22
2
2
1
4
4
3
xy
−
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(рис. 3.3.7).
Рис. 3.3.5 Рис. 3.3.6

Страницы