Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

64
Пример 2. Выполнив поворот координатных осей, привести уравнение
кривой
2x
y
= к каноническому виду. Сделать рисунок кривой в исходной
системе координат (рис. 3.4.4).
Решение. Выполним поворот координатных осей, положив
11
11
cos sin
sin cos
xx y
y
x
y
α
α
α
α
=−
⎫
⎬
=+
⎭
.
Уравнение данной кривой примет вид:
1111
2(cos sin)(sin cos)xyxy
α
αα α
−+=.
Раскрывая скобки, получим:
2
1
sin cosx
α
α
+
11
22
yx)sin(cos
α
α
−
2
2
=
−
)sin(cos
α
α
y .
Повернем координатные оси на такой угол
, чтобы в уравнении исчез-
ло слагаемое, содержащее произведение
11
yx . Для этого нужно решить
уравнение
22
0cos sin
α
α
−=.
Наименьшее значение угла
α
, удовлетворяющего этому уравнению,
есть
4
π
α
= . Принимая во внимание, что
2
2
sin cos
αα
==, получим канони-
ческое уравнение данной кривой
22
11
22
1
22
xy
−
= относительно системы коорди-
нат
11
Ox y . Получим равнобочную гиперболу (рис. 3.4.4).
3 Приведение общего уравнения кривой второго порядка к канониче-
скому виду
Если кривая второго порядка задана своим общим уравнением
22
11 12 22 1 2
2220ax axy ay bx by c+++++=,
то это уравнение можно привести к каноническому виду, выполнив поворот
и параллельный перенос координатных осей, причем поворот координатных
осей осуществляют, выбирая такой угол поворота
, чтобы в уравнении
относительно новых координат исчез бы член с произведением
11
xy . Итак,
после поворота координатных осей уравнение кривой приобретает вид:
22
11 1 22 1 1 1 2 1
22 0ax ay dx dy f
′′
++++=.
Теперь можно делать следующий шаг: параллельный перенос осей. При
этом координаты нового начала выбирают таким образом, чтобы упрости-
лись линейные члены и свободный член уравнения. Можно показать, что
тип кривой можно определить сразу, вычислив определитель
11 12
21 22
aa
aa
Δ=
.
При этом, если
0
Δ
> , то кривая называется кривой эллиптического
типа и может оказаться эллипсом; если
0
Δ
< , то кривая называется кри-
вой гиперболического типа и может оказаться гиперболой; если
0Δ= , то

Страницы