Составители:
Рубрика:
67
§5 Уравнение линии на плоскости и в пространстве.
1 Кривые, заданные пересечением поверхностей
Всякую линию
L
в пространстве можно рассматривать как пересечение
двух поверхностей:
1
2
0
0
=
⎫
⎬
=
⎭
(,,)
:
(,,)
Fxyz
L
Fxyz
.
Итак, линию в пространстве можно рассматривать как множество точек,
координаты которых удовлетворяют данной системе уравнений. Например,
две плоскости
11 1 1 1
0:PAxByCz D+++= и
2
:P
2222
0Ax By C z D
+
++=
пересекаются по прямой линии
L , т.е. прямую линию L можно задать та-
кой системой уравнений:
1111
2222
0
0
+++=
⎫
⎬
+
++=
⎭
:
Ax By C z D
L
Ax By C z D
.
2 Параметрические уравнения кривых
Кривую линию
L на плоскости или в пространстве можно задать как тра-
екторию движущейся точки, координаты которой задаются в виде
()
()
()
xxt
yy
t
z
zt
=
⎫
⎪
=
⎬
⎪
=
⎭
.
Здесь параметр
t часто имеет смысл времени, а система уравнений (1)
называется системой параметрических уравнений данной кривой.
Пример 1. Нарисовать кривую, заданную параметрическими уравнения-
ми
cos
sin
xa t
y
bt
=
⎫
⎬
=
⎭
.
Очевидно, что достаточно взять промежуток изменения параметра
t
02[, ]
π
, т.к. cost и sint 2
π
– периодические функции. Составим таблицу
изменения значений
()xt и ()
y
t в зависимости от значений параметра
t
.
t
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
4
π
π
5
4
π
3
2
π
7
4
π
2
π
()xt
a
3
2
a
2
2
a
1
2
a
0
2
2
−a
a
−
2
2
−a
0
2
2
a
a
()
y
t
0
1
2
b
2
2
b
3
2
b
b
2
2
b
0
2
2
−b
b−
2
2
−b
0
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
