Составители:
Рубрика:
69
Из полюса проведем радиус-вектор r. Обозначим через
ϕ
угол, отсчи-
тываемый от полярной оси по направлению к радиус-вектору против часо-
вой стрелки (рис. 3.5.3). Положение точки
M
на плоскости однозначно оп-
ределено параметрами r и
ϕ
, где r – длина радиус-вектора. Ясно, что 0r ≥ ,
02
ϕ
π
≤< .
Совместим теперь начало декартовой системы координат
xO
y
с полю-
сом, а полярную ось
Op направим вдоль оси Ox (рис. 3.5.4). Тогда нетруд-
но установить связь между декартовыми и полярными координатами:
cosxr
ϕ
= , sin
y
r
ϕ
= .
Часто из соображений большей наглядности или простоты выкладок бы-
вает удобно учитывать связь между декартовыми и полярными координа-
тами, переходить от уравнения кривой в декартовых координатах к ее урав-
нению в полярных координатах и наоборот.
Пример 3. Изобразить кривую
3sinr
ϕ
=
и найти ее уравнение в декар-
товых координатах.
Решение. Прежде всего заметим, что
0r ≥ , если
3 0 23 45[, ] [ , ] [ , ]
ϕ
πππππ
∈∪ ∪ , т.е.
245
0
33 33
[, ] [ , ] [ , ]
π
ϕ
ππ π π
∈∪ ∪ .
Если
3 2 34 56[, ] [ , ] [ , ]
ϕ
ππ ππ ππ
∈∪ ∪ , то оказывается 0r < , значит в об-
ластях, где
245
2
33 3 3
[, ][, ][ , ]
π
ϕ
πππ ππ
∈∪∪ кривая не лежит, их следует ис-
ключить из рассмотрения.
Вычисляя значения
r для указанных областей изменения
ϕ
, получим
множество точек, называемое трехлепестковой розой (рис. 3.5.5).
Найдем теперь уравнение этой кривой в декартовых координатах. На-
помним, что
3
33(cos sin ) cos sinii
ϕ
ϕϕϕ
+=+, с другой стороны,
33 2 2 3
33
ϕ
ϕϕ ϕϕϕϕϕ
+=+ − −(cos sin ) cos cos sin cos sin sinii i=>
=>
23
33sin cos sin sin
ϕ
ϕϕ ϕ
=−.
Так как
22
cos
xx
r
x
y
ϕ
==
+
;
22
sin
yy
r
x
y
ϕ
==
+
, то получим уравнение
кривой в декартовых координатах
Рис. 3.5.4
Рис. 3.5.3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
