Составители:
Рубрика:
77
§7 Поверхности вращения.
Поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг оси, рас-
положенной в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Эта
ось называется осью вращения поверхности. Если пересекать поверх-
ность вращения плоскостями, перпендикулярными к оси вращения, то в се-
чениях будут окружности с центрами на оси вращения.
Рассмотрим правило получения уравнения поверхности, образованной
вращением линии L
, лежащей в координатной плоскости
y
Oz вокруг оси
Oz . Допустим, что кривая L имеет уравнение 0(,)P
y
z
=
.
Найдем уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии во-
круг оси
Oz (рис. 3.7.1). Введем на поверхности произвольную точку
(,,)Mx
y
z и проведем через нее плоскость, перпендикулярную к оси вра-
щения. Обозначим через
1
M и
N
точки пересечения построенной плоско-
сти соответственно с данной линией
L и осью вращения (осью Oz ). Коор-
динаты
z
всех трех точек M ,
1
M и
N
равны между собой. Поэтому имея
в виду, что координаты точки
N
есть 00(,,)
z
, найдем радиус
NM
окруж-
ности, получившейся в сечении поверхности плоскостью, как расстояние
между точками
N
и
M
, он равен
22
x
y
+
. С другой стороны, так как точка
1
M лежит одновременно на окружности сечения и на линии L , то радиус
N
M равен абсолютной величине ординаты точки
1
M . Следовательно,
точка
1
M имеет такие же координаты:
22
1
(,)Mx
y
z±+ , а тогда искомое
уравнение поверхности вращения имеет вид:
22
0(,)Fxyz
±
+=.
Таким образом, мы приходим к следующему правилу: чтобы получить
уравнение поверхности, образованной вращением линии
L , лежащей в
плоскости
y
Oz , вокруг оси Oz , нужно в уравнении этой линии заменить
y
на
22
x
y
±+.
Рис. 3.6.7
Рис. 3.7.1
h
z
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
