Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

81
1) коммутативность
ABBA+=+
;
2) ассоциативность
() ()AB C A BC++=++;
3) существует нулевая матрица
[]Om n
×
такая, что AO A+= для лю-
бой матрицы
[]Om n× .
3. Умножение матриц на число. Матрица
CA
λ
=
⋅ называется произ-
ведением числа
λ
на матрицу []Am n
×
, если для каждого элемента
матрицы
[]Cm n× справедливо соотношение
ijij
ac
λ
= ),...,,;,...,,( n
j
m
i
2121
=
=
.
Очевидны свойства этой операции:
1) ассоциативность относительно умножения на число:
() ( )AA
μλμ
=
, где const
μ
=
2) дистрибутивность относительно сложения матриц:
λ
λλ
+
=+()AB A B
3) дистрибутивность относительно сложения чисел:
λ
μλμ
+
=+()AAA.
Заметим, что здесь
[]Bm n× – матрица.
4. Умножение матриц. Матрица
[]Cm n
×
называется произведением
матрицы
[]Am r× на матрицу []Br n
×
, если для любого элемента мат-
рицы
C
имеет место соотношение
11 2 2
1
...
n
i
j
i
j
i
j
ir r
j
ik k
j
k
cabab ab ab
=
=+ ++=
∑
, 12 12( , ,..., ; , ,..., )im
j
n
=
= .
При этом пишут:
CAB=⋅
.
Прежде всего отметим, что из определения произведения матрицы
[]Am r×
на матрицу
[]Br n×
следует, что умножать матрицу
A
на матри-
цу
B
можно лишь в том случае, если число столбцов матрицы A совпада-
ет с числом строк матрицы
B
. Кроме того ясно, что в данном случае, вооб-
ще говоря,
AB BA⋅≠⋅
, так как если rm
≠
, то
BA
⋅
просто не определе-
но, т.е. произведение матриц некоммутативно.
Квадратные матрицы одного порядка называются коммутирующими,
если
AB BA⋅=⋅
. Очевидно, что AE EA A
⋅
=⋅=, т.е. единичная матрица
при умножении матриц играет роль обычной единицы. Можно доказать
справедливость и других свойств умножения матриц. Принимая во внима-
ние сказанное, перечислим основные свойства умножения матриц:
1)
AB BA⋅≠⋅
(умножение матриц некоммутативно);
2)
() ()AB C A BC⋅⋅=⋅⋅ (ассоциативность);
3)
()ABC AC BC+⋅=⋅+⋅ (дистрибутивность относительно сложения
матриц);
4)
AE EA A⋅=⋅=
;
5)
AO OA O⋅=⋅=
, причем здесь
O
– нулевая матрица;
6)
det( ) det detAB A B⋅= ⋅ , где
A
и
B
– квадратные матрицы.
Пример 1. Вычислить
AB
⋅
, если

Страницы