Составители:
Рубрика:
84
Определение 3. Матрица
1
A
−
называется обратной по отношению
к квадратной матрице
A n -го порядка, если
11
AA A A E
−−
⋅
=⋅=, где
E
– единичная матрица n -го порядка.
Теорема. Для того чтобы у матрицы
A существовала обратная матрица
1
A
−
, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденная
(неособая), т.е. чтобы определитель матрицы
A был бы отличен от нуля.
Доказательство.
Необходимость. Пусть существует обратная матрица
1
A
−
, т.е.
1
AA E
−
⋅=,
но тогда
1
1det( ) detAA E
−
⋅= =
=>
1
1det detAA
−
⋅
= => 0detA ≠ .
Достаточность. Пусть
0detAΔ= ≠ . Обозначим через
i
j
A алгебраиче-
ские дополнения элементов
i
j
a матрицы A .
Рассмотрим матрицу
11 21 1
12 22 2
12
...
...
....
...
n
n
nn nn
AA A
AA A
B
AA A
⎛⎞
⎜⎟
Δ
ΔΔ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
Δ
ΔΔ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝Δ Δ Δ⎠
.
Докажем, что
1
BA
−
=
, для чего нужно доказать, что AB BA
⋅
=⋅=
E
=
.
Не уменьшая общности доказательства, проведем его для случая
3n = .
Найдем
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
1
aaa AAA
CAB a a a A A A
aaa AAA
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
=⋅= ⋅ =
⎜⎟⎜ ⎟
Δ
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
11 11 12 12 13 13 11 21 12 22 13 23 11 31 12 32 13 33
21 11 22 12 23 13 21 21 22 22 23 23 21 31 22 32 23 33
31 11 32 12 33 13 31 21 32 22 33 23 31 31 32 32 33 33
1
.
aA aA aA aA aA aA aA aA aA
aA aA aA aA aA aA aA aA aA
aA aA aA aA aA aA aA aA aA
++ ++ ++
⎛⎞
⎜⎟
=++ ++ ++
⎜⎟
Δ
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
На главной диагонали стоят разложения определителя
Δ по элементам
первой, второй и третьей строк соответственно, а все другие элементы
представляют собой сумму попарных произведений элементов какой-то
строки определителя на алгебраические дополнения другой строки. Следо-
вательно
00
1
00
00
CAB E
Δ
⎛⎞
⎜⎟
=⋅= Δ =
⎜⎟
Δ
⎜⎟
Δ
⎝⎠
.
Аналогично можно доказать, что и
BA E
⋅
= .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
