Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

86
1
131 1 13 11 1
111
222 2 22 22 2
121
11 1 11 11 11
011
22 2 22 22 22
112
11 1 11 31 11
111
22 2 22 22 22
AA
−
⎛⎞⎛ ⎞
−+−−++−+
⎜⎟⎜ ⎟
⎛⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⋅= ⋅ −= − + −+=
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠
⎜⎟⎜ ⎟
−+−−++−+
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
100
010
001
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Нетрудно убедиться, что совершенно аналогично
1
AAE
−
⋅
= . Убедитесь
в этом самостоятельно.
5 Ортогональная матрица
Определение 4. Квадратная матрица
A называется ортогональной,
если ее обратная матрица
1
A
−
совпадает с матрицей, транспонированной
по отношению к матрице
A , т.е. если
1 T
AA
−
=
.
Свойства ортогональных матриц
1) Определитель ортогональной матрицы равен
1
либо
1
−
.
Действительно, из
1 T
AA
−
= => 1det( )
T
AA
⋅
= =>
2
1(det )A
=
=>
1detA
=
± .
2) Сумма квадратов элементов каждой строки или столбца равна единице.
3) Сумма попарных произведений элементов двух различных строк или
столбцов равна нулю.
Доказательство. Докажем для случая
3n
=
.
T
AAE
⋅
= =>
11 21 31 11 12 13
12 22 32 21 22 23
13 23 33 31 32 33
aaa aaa
aaa aaa
aaa aaa
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
222
11 21 31 11 12 21 22 31 32 11 13 21 23 31 33
222
12 11 22 21 32 31 12 22 32 12 13 22 23 32 33
222
13 11 23 21 33 31 13 12 23 22 33 32 13 23 33
aaa aaaaaa aaaaaa
aa aa aa a a a aa aa aa
aa aa aa aa aa aa a a a
⎛⎞
++ + + + +
⎜⎟
=++ ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
.
Аналогично, рассматривая
T
AA E
⋅
= , получим точно такие же соотно-
шения для элементов строк.
§2 Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Теоре-
ма о базисном миноре.
1 Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями матриц называются преобразования
трех типов:

Страницы