Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Брылевская Л.И - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

89
чаем
2
A ; подобным образом получаем нули и над главной диагональю. Яс-
но, что
3r = .
3 Линейная независимость строк и теорема о базисном миноре
Определение 4. Строка
12
( , ,..., )
n
Aaa a
=
называется линейной ком-
бинацией строк
11112 1
(,,..., )
n
Abb b
=
,
22122 2
( , ,..., )
n
Abb b
=
, …,
12
( , ,..., )
kkk kn
Abb b= , если для некоторых чисел
1
γ
,
2
γ
, …,
k
γ
справедливо
равенство
11 2 2
...
kk
AA A A
γ
γγ
=+ + или
11 2 2
...
j
jjkkj
ab b b
γ
γγ
=
++
12(,,...,)
j
n= .
Определение 5. Строки
12
, ,...,
l
AA A называются линейно независи-
мыми, если равенство
11 2 2
0...
ll
AA A
γ
γγ
++ = возможно лишь в том слу-
чае, когда все числа
12
, ,...,
l
γ
γγ
равны нулю. В противном случае строки
называются линейно зависимыми.
Теорема 1. Для того чтобы строки
12
, ,...,
l
AA A были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из этих строк являлась бы
линейной комбинацией остальных строк.
Доказательство.
Необходимость. Пусть строки линейно зависимы, т.е.
11 2 2
0...
ll
AA A
γ
γγ
+++=, где хотя бы одно из чисел
i
γ
не равно нулю.
Пусть для определенности
1
0
γ
≠
, тогда, разделив предыдущее равенство
на
1
γ
, получим:
3
2
123
11 1
...
l
l
AAA A
γ
γ
γ
γγ γ
=− − − − , а это означает, что
1
A
явля-
ется линейной комбинацией
23
, ,...,
l
AA A.
Достаточность. Пусть одна из строк (например
1
A ) является линейной
комбинацией остальных строк, т.е.
12233
...
ll
AAA A
μ
μμ
=+++ =>
12233
10() ...
ll
AAA A
μ
μμ
−
++++=, т.е. строки
12
, ,...,
l
AA A
линейно зависимы. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь произвольную матрицу:
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
,
и пусть
r
– ранг матрицы
A
. Тогда существует не равный нулю минор
r
-го
порядка – базисный минор этой матрицы. Строки и столбцы, на пересече-
нии которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными
строчками и базисными столбцами.
Теорема 2. (Теорема о базисном миноре).

Страницы