Составители:
Рубрика:
90
Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая стро-
ка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных
строк (базисных столбцов).
Доказательство. Все рассуждения приведем для строк.
Независимость базисных строк будем доказывать от противного. Пусть
базисные строки линейно зависимы. Тогда по теореме 1 одна из строк яв-
ляется линейной комбинацией остальных. Но тогда
из свойств определите-
ля вытекает, что базисный минор равен нулю, чего не может быть, следова-
тельно, базисные строки линейно независимы.
Докажем теперь, что любая строка матрицы
A
является линейной ком-
бинацией базисных строк. Не нарушая общности, можно считать, что базис-
ный минор расположен в левом верхнем углу матрицы
A . Рассмотрим оп-
ределитель
1()r + -го порядка вида:
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
...
...
.....
...
...
r
j
r
j
rr rrr
j
kk krk
j
aa aa
aa aa
aa a a
aa a a
Δ=
,
полученный добавлением к базисному минору частей любой
k -й строки и
любого
j
-го столбца матрицы A . Докажем, что 0
Δ
= . Если
j
r≤ или kr
≤
,
то
0Δ= , так как он содержит два одинаковых столбца или две одинаковых
строки. Если
j
r> и kr> , то
Δ
– есть минор )( 1
+
r -го порядка матрицы
A , а всякий такой минор равен нулю.
Итак,
0Δ= . Разлагая Δ по элементам последнего столбца и обозначая
алгебраические дополнения элементов
i
j
a буквами
ii
j
cA= , получим
11 2 2 1
0...
jj rrjrkj
ca ca c a c a
+
++++ = 12( , ,..., )
j
n
=
. Но
1rk
j
cA
+
=
равно базис-
ному минору, поэтому
1
0
r
c
+
≠ . Отсюда, обозначая
1
1
1r
c
c
γ
+
=− ,
2
2
1r
c
c
γ
+
=− , …,
1
r
r
r
c
c
γ
+
=− , из последнего равенства получим:
11 2 2
...
k
jj j
rr
j
aaa a
γ
γγ
=+ ++ 12( , ,..., )
j
n
=
,
а это означает, что любая
k -я строка матрицы A является линейной
комбинация базисных строк. Теорема доказана.
§3 Исследование линейных алгебраических систем.
Рассмотрим систему
m
линейных алгебраических уравнений с неиз-
вестными
12
, ,...,
n
xx x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
