ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
или : (усовершенствованный метод Эйлера-Коши) :
y*k+1=yk+hf(tk,yk)
yk+1=yk+(h/2)f((tk,yk)+f(tk+1,y*k+1))
или : y*k+1=yk+2hf(tk,yk)
yk+1=yk+(h/2)[f(tk,yk)+f(tk,y*k+1)]
3.Неявный метод Эйлера.
yk+1=yk+(h/2)[f(tk,yk)+f(tk,yk+1)] ,
Метод абсолютно устойчив, но формула не всегда разрешима в явном виде.
3.А .Общая формула сочетания явного и неявного методов.
yk+1=yk+h[А f(tk,yk)+(1-А )f(tk,yk+1)] ,
А – численный коэффициент. При А=1 получаем явный метод Эйлера. При А=0 неявный.При
0<А <1 – комбинированный [9]. При этом неустойчивость отсутствует, если 0<А <0.5 .
Примеры, когда формула разрешима в явном виде.
Пример П1.
Пример П2.Возействие сигнала произвольной формы на интегрирующую цепь .
yk+1=yk+(h/RC)[(Uk-yk)A+(1-A)(Uk-yk+1)]
4.Методы Рунге - Кутта .
Методы Рунге - Кутта имеют точность заметно выше предидущих.
Для диф .ур - ия 1-го порядка : dy/dt=f(t,y)
Формула Рунге - Кутта 2-го порядка :
д yд f
hghO
/
2
,
2
1,)(
2
2
−≤++==
α
αε
)(
2
hO= ε
.)(5.0
2
hОьпогрешностАПри =≈ ε
kk
kk
kk
U
h
h
Uоткуда
UUh
UU
U
dt
dU
+
−
=
−−+=−=
+
+
+
τ
τ
τττ
2
2
:
)(
2
1
1
1
R
U(t)
C
Uc(t
)
RC
tUctU
dt
dUc )()(
−
=
:)(
ˆ
: получимtUcyобозначив
=
)1(1
)1()([
1
A
RC
h
UAyUA
RC
h
y
y
kkkk
k
−+
−+−+
= +
и ли : (у
со ве р ш е нство ванный ме то д Эйле р а-Ко ш и ) :
y*k+1=yk+hf(tk,yk)
yk+1=yk+(h/2)f((tk,yk)+f(tk+1,y*k+1))
и ли : y*k+1=yk+2hf(tk,yk)
yk+1=yk+(h/2)[f(tk,yk)+f(tk,y*k+1)]
α2 2
ε = O(h 2 ) , g = 1 + α + ,h≤−
2 дf /дy
3.Н е явный ме то д Эйле р а.
yk+1=yk+(h/2)[f(tk,yk)+f(tk,yk+1)] ,
ε = O(h 2 )
М е то д аб со лютно у сто йчи в, но ф о р му
ла не все гд а р азр е ш и ма в явно м ви д е .
3.А .О б щ ая ф о р му
ла со че тани я явно го и не явно го ме то д о в.
yk+1=yk+h[А f(tk,yk)+(1-А )f(tk,yk+1)] ,
А – чи сле нный ко эф ф и ци е нт. П р и А =1 по лучае м явный ме то д Эйле р а. П р и А =0 не явный.П р и
0<А <1 – ко мб и ни р о ванный [9]. П р и это м не у
сто йчи во сть о тсу
тству
е т, е сли 0<А <0.5 .
П р и А ≈ 0.5 погр е ш ност ь ε = О (h 2 ) .
П р и ме р ы, ко гд а ф о р му
ла р азр е ш и ма в явно м ви д е .
П р и ме р П 1.
dU U h Uk Uk + 1
=− Uk + 1 = Uk + (− − )
dt τ 2 τ τ
2τ − h
от куд а : Uk + 1 = Uk
2τ + h
R
C
U(t) Uc(t
)
П р и ме р П 2.Во зе йстви е си гнала пр о и зво льно й ф о р мы на и нте гр и р у
ющ у
ю це пь.
dUc U (t ) − Uc(t )
=
dt RC
обозначив : y =ˆUc(t ) пол учим :
yk+1=yk+(h/RC)[(Uk-yk)A+(1-A)(Uk-yk+1)]
h
yk + [ A(Uk − yk ) + (1 − A)Uk
yk + 1 = RC
h
1+ (1 − A)
RC
4.М е то д ы Р у нге -Кутта.
М е то д ы Р унге -Ку тта и ме ют то чно сть заме тно выш е пр е д и д у
щ их.
Д ля д и ф .у р -и я 1-го по р яд ка : dy/dt=f(t,y)
Фо р му ла Р у нге -Ку тта 2-го по р яд ка :
