ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Формула Рунге - Кутта 4-го порядка,используемая в большинстве стандартных программ ЭВМ .
yk+1=yk+h/6(k1+2k2+2k3+k4)
K1=f(tk,yk) , k2=f(tk+h/2,yk+(h/2)K1 ) , k3=f(tk+h/2,yk+(h/2)K2 ) , k4=f(tk+h/2,yk+(h/2)K3 )
Для системы двух уравнений : dy/dt=f1(t,y,z) , dz/dt=f2(t,y,z) формула Рунге - Кутта 4-го порядка
имеет вид :
yk+1=yk+h/6(k1+2k2+2k3+k4)
zk+1=zk+h/6(Q1+2Q2+2Q3+Q4)
K1=f1(tk,yk,zk) Q1=f2(tk,yk,zk)
k2=f1(tk+h/2,yk+(h/2)K1,zk+(h/2)Q1 ) Q2=f2(tk+h/2,yk+(h/2)K1,zk+(h/2)Q1 )
k3=f1(tk+h/2,yk+(h/2)K2,zk+(h/2)Q2 ) Q3=f2(tk+h/2,yk+(h/2)K2,zk+(h/2)Q2 )
k4=f1(tk+h,yk+hK3,zk+hQ3 ) Q4=f2(tk+h,yk+hK3,zk+hQ3 )
Формула Рунге - Кутта для диф .ур - ия 2го порядка 5 :
Формула Рунге - Кутта для диф .ур - ия 2-го порядка 5 :
Заметим, что именно формула 4-го порядка точности , записанная дя системы произвольного
числа диф .ур - ий 1-го порядка, лежит в основе большинства стандартных программ для ЭВМ .
),(,)],(),([
2
:5.0
),(,)
2
,
2
(
:1
.5.01
),(,)]
2
,
2
(),()1[(
1
1
1
kkkkkkkkkk
kkkkkkkk
kkkkkkkkkk
ytfhfyhtfytf
h
yy
Для
ytfff
h
y
h
tfhyy
Для
либоберутобычно
ytfff
h
y
h
tfytfhyy
=++++=
=
=++⋅+=
=
==
=
⋅
+
⋅
+⋅+−+=
+
+
+
α
α
αα
αα
αα
),,( yyxfy
′
=
′
′
)()](
6
1
[
5
3211 hOkkkyhyy nnn ++++
′
+= +
)22(
6
1
43211 kkkkyy nn ++++
′
=
′
+
),,(1 nnn yyxfhk
′
⋅
=
)
2
,
8
2
,
2
(
1
12
k
yk
h
y
h
y
h
xfhk nnnn +
′
+
′
++⋅=
)
2
,
8
2
,
2
(
2
23
k
yk
h
y
h
y
h
xfhk nnnn +
′
+
′
++⋅=
),
2
,( 334 kyk
h
yhyhxfhk nnnn +
′
+
′
++⋅=
),( yxfy
=
′
′
)()]2(
6
1
[
4
211 hOkkyhyy nnn +++
′
+= +
)4(
6
1
3211 kkkyy nn +++
′
=
′
+
),(1 nn yxfhk
⋅
=
)
8
2
,
2
( 12 k
h
y
h
y
h
xfhk nnn +
′
++⋅=
)
,
(
2
3
k
h
y
h
y
h
x
f
h
k
n
n
n
+
′
+
+
⋅
=
h h
yk + 1 = yk + h[(1 − α ) f (tk , yk ) + α ⋅ f (tk + , yk + fk )] , fk = f (tk , yk )
2 ⋅α 2 ⋅α
обы чнобе р ут α = 1 л ибоα = 0.5 .
Д л яα = 1 :
h h
yk + 1 = yk + h ⋅ f (tk + , yk + fk ) , fk = f (tk , yk )
2 2
Д л яα = 0.5 :
h
yk + 1 = yk + [ f (tk , yk ) + f (tk + h, yk + hfk )] , fk = (tk , yk )
2
Фо р му
ла Р у
нге -Ку
тта 4-го по р яд ка,и спо льзу
е мая в б о льш и нстве станд ар тных пр о гр амм ЭВМ .
yk+1=yk+h/6(k1+2k2+2k3+k4)
K1=f(tk,yk) , k2=f(tk+h/2,yk+(h/2)K1 ) , k3=f(tk+h/2,yk+(h/2)K2 ) , k4=f(tk+h/2,yk+(h/2)K3 )
Д ля си сте мы д ву
х у
р авне ни й : dy/dt=f1(t,y,z) , dz/dt=f2(t,y,z) ф о р му
ла Р у
нге -Ку
тта 4-го по р яд ка
и ме е т ви д :
yk+1=yk+h/6(k1+2k2+2k3+k4)
zk+1=zk+h/6(Q1+2Q2+2Q3+Q4)
K1=f1(tk,yk,zk) Q 1=f2(tk,yk,zk)
k2=f1(tk+h/2,yk+(h/2)K1,zk+(h/2)Q1 ) Q 2=f2(tk+h/2,yk+(h/2)K1,zk+(h/2)Q1 )
k3=f1(tk+h/2,yk+(h/2)K2,zk+(h/2)Q2 ) Q 3=f2(tk+h/2,yk+(h/2)K2,zk+(h/2)Q2 )
k4=f1(tk+h,yk+hK3,zk+hQ3 ) Q 4=f2(tk+h,yk+hK3,zk+hQ3 )
Фо р му
ла Р у
нге -Ку
тта д ля д и ф .у
р -и я 2го по р яд ка 5:
y ′′ = f ( x, y, y ′)
1
yn + 1 = yn + h[ y ′n + (k 1 + k 2 + k 3)] + O(h 5 )
6
1
y ′n + 1 = y ′n + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4)
6
k 1 = h ⋅ f ( xn, yn, y ′n)
h h h k1
k 2 = h ⋅ f ( xn + , yn + y ′n + k 1, y ′n + )
2 2 8 2
h h h k2
k 3 = h ⋅ f ( xn + , yn + y ′n + k 2, y ′n + )
2 2 8 2
h
k 4 = h ⋅ f ( xn + h, yn + hy ′n + k 3, y ′n + k 3)
2
Фо р му
ла Р у
нге -Ку
тта д ля д и ф .у
р -и я 2-го по р яд ка 5:
y ′′ = f ( x, y )
1
yn + 1 = yn + h[ y ′n + (k 1 + 2k 2)] + O(h 4 )
6
Заме ти м, что и ме нно ф о р му ла 4-го по р яд ка то чно сти , запи санная д я си сте мы пр о и зво льно го
1
y ′nд+и1ф =.уyр -и
чи сла ′n й+ 1-го(k 1п+ + ле
о р4ядk 2ка, k 3)ж и т в о сно ве б о льш и нства станд ар тных пр о гр амм д ля ЭВМ .
6
k 1 = h ⋅ f ( xn, yn )
h h h
k 2 = h ⋅ f ( xn + , yn + y ′n + k 1)
2 2 8
h
k 3 = h ⋅ f ( xn + h, yn + hy ′n + k 2)
