ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
детерминироавнные .Такое однократное воспроизведение функционирования объекта и
называют статистическим испытанием.
3.После многократного повторения статистических испытаний полученные результаты
подвергаются статистической обработке с целью представления их в виде статистических
характеристик : вероятности появления изучаемого события, средних значений параметров,
возможных отклонений параметров от средних значений и др.
Достоинства метода статистических исытаний.
- простая структура вычислительного алгоритма ;
- наглядная вероятностная трактовка модели ;
- малочувствительность к отдельным ошибкам вычислений ;
- простота оценки точности полученных результатов ;
Недостатки :
- необходимость знания закона распределения случайных значений параметров
объекта и построение в статистической модели адекватного датчика случайных чисел
;
- необходимость большого количества статистических испытаний для получения
приемлимой точности результата .
Ошибка конечного результата , как правило , пропорциональна
Где : D – константа , зависящая от алгоритма решения задачи ,
N – число испытаний.
Следовательно , чтобы уменьшить ошибку в 10 раз надо увеличить объем испытаний в 100 раз.
Метод Монте - Карло позволяет моделировать любые процессы, на протекание которых
влияют случайные факторы. Но для многих задач, не связанных с какими либо случайностями ,
можно искусственно придумать вероятностную модель /и даже не одну/, позволяющую решать
эти задачи .
Поэтому можно говорить о методе Монте - Карло как об универсальном методе решения как
математических задач, так и задач моделирования физических объектов. Однако , практическая
эффективная реализация метода Монте - Карло возможна только на ЭВМ .
Общая схема метода Монте - Карло .
Пусть требуется вычислить некоторую величину «А». Придумаем такую случайную величину
чтобы матожидание ее равнялось бы «А». Например, требуется определить площадь
произвольно заданной графически или аналитически плоской фигуры «А», рис.1.
Изменим масштаб так, чтобы эта фигура попала внутрь единичного квадрата . Выберем в
квадрате N случайных точек /по датчику случайных чисел, равномерно распеделенных на
отрезке [0,1]. Подсчитаем из них число точек N*, попавших внутрь области «А». Тогда
геометрически очевидно , что искомая площадь приблизительно равна отношению N*/N. При
этом чем больше будет N, тем точнее результат.
Y 1
Рис.1.
0
1 X
Примеры статистических моделей.
3.1Расчет качества изделия.
Например, возьмем электронное устройство . Пусть качество этого изделия определяется
входным параметром «К» , которое можно вычислить как функцию от величин его элементов,
например, R, L, C : k=f(R1,R2,… ,C1,C2,… ,L1,L2,… ) (1)
Задача – оценить как повлияют отклонения величин всех элементов от наминальных значений
на величину «К» . Можно оценить пределы изменения «К» , выбирая для всех элементов
«худшие» значения. Но при сложной функции (1) трудно понять какой набор значений
элементов будет наихудшим. Кроме того , когда элементов много оценка окажется существенно
завышенной, ибо маловероятно , чтобы на самом деле все элементы были худшими . Поэтому
N
D
/
А
А
д е те р ми ни р о авнные .Тако е о д но кр атно е во спр о и зве д е ни е ф у нкци о ни р о вани я о б ъе кта и
называют стати сти че ски м и спытани е м.
3.П о сле мно го кр атно го по вто р е ни я стати сти че ски х и спытани й по лу че нные р е зу льтаты
по д ве р гаются стати сти че ско й о б р аб о тке с це лью пр е д ставле ни я и х в ви д е стати сти че ски х
х ар акте р и сти к : ве р о ятно сти по явле ни я и зу чае мо го со б ыти я, ср е д ни х значе ни й пар аме тр о в,
во змо ж ных о ткло не ни й пар аме тр о в о т ср е д ни х значе ни й и д р .
Д о сто и нства ме то д а стати сти че ски х и сытани й.
- пр о стая стр у ктур а вычи сли те льно го алго р и тма ;
- нагляд ная ве р о ятно стная тр акто вка мо д е ли ;
- мало чу встви те льно сть к о тд е льным о ш и б кам вычи сле ни й ;
- пр о сто та о це нки то чно сти по лу че нных р е зультато в ;
Н е д о статки :
- не о б х о д и мо сть знани я зако на р аспр е д е ле ни я слу чайных значе ни й пар аме тр о в
о б ъе кта и по стр о е ни е в стати сти че ско й мо д е ли ад е кватно го д атчи ка слу чайных чи се л
;
- не о б х о д и мо сть б о льш о го ко ли че ства стати сти че ски х и спытани й д ля по лу че ни я
пр и е мли мо й то чно сти р е зу льтата.
О ш и б ка ко не чно го р е зу льтата, как пр ави ло , пр о по р ци о нальна
D / N
Гд е : D – ко нстанта, зави сящ ая о т алго р и тма р е ш е ни я зад ачи ,
N – чи сло и спытани й.
Сле д о вате льно , что б ы у ме ньш и ть о ш и б кув 10 р аз над о у ве ли чи ть о б ъе м и спытани й в 100 р аз.
М е то д М о нте -Кар ло по зво ляе т мо д е ли р о вать люб ые пр о це ссы, на пр о те кани е ко то р ых
вли яют слу чайные ф акто р ы. Н о д ля мно ги х зад ач, не связанных с каки ми ли б о слу чайно стями ,
мо ж но и ску сстве нно пр и д умать ве р о ятно стну ю мо д е ль /и д аж е не о д ну /, по зво ляющ у ю р е ш ать
эти зад ачи .
П о это мумо ж но го во р и ть о ме то д е М о нте -Кар ло как о б у ни ве р сально м ме то д е р е ш е ни я как
мате мати че ски х зад ач, так и зад ач мо д е ли р о вани я ф и зи че ски х о б ъе кто в. О д нако , пр акти че ская
эф ф е кти вная р е али заци я ме то д а М о нте -Кар ло во змо ж на то лько на ЭВМ .
О б щ ая сх е ма ме то д а М о нте -Кар ло .
П у сть тр е б уе тся вычи сли ть не ко то р у ю ве ли чи ну«А ». П р и д умае м таку ю слу чайну ю ве ли чи ну
что б ы мато ж и д ани е е е р авняло сь б ы «А ». Н апр и ме р , тр е б у е тся о пр е д е ли ть пло щ ад ь
пр о и зво льно зад анно й гр аф и че ски и ли анали ти че ски пло ско й ф и гу р ы «А », р и с.1.
И зме ни м масш таб так, что б ы эта ф и гу р а по пала вну тр ь е д и ни чно го квад р ата. Выб е р е м в
квад р ате N слу чайных то че к /по д атчи куслу чайных чи се л, р авно ме р но р аспе д е ле нных на
о тр е зке [0,1]. П о д счи тае м и з ни х чи сло то че к N*, по павш и х вну тр ь о б ласти «А ». То гд а
ге о ме тр и че ски о че ви д но , что и ско мая пло щ ад ь пр и б ли зи те льно р авна о тно ш е ни ю N*/N. П р и
это м че м б о льш е б у д е т N, те м то чне е р е зультат.
Y 1
А
А
Р и с.1.
0
1 X
П р и ме р ы стати сти че ски х мо д е ле й.
3.1Р асче т каче ства и зд е ли я.
Н апр и ме р , во зьме м эле ктр о нно е у стр о йство . П у сть каче ство это го и зд е ли я о пр е д е ляе тся
вх о д ным пар аме тр о м «К», ко то р о е мо ж но вычи сли ть как ф у нкци ю о т ве ли чи н е го эле ме нто в,
напр и ме р , R, L, C : k=f(R1,R2,… ,C1,C2,… ,L1,L2,… ) (1)
Зад ача – о це ни ть как по вли яют о ткло не ни я ве ли чи н все х эле ме нто в о т нами нальных значе ни й
на ве ли чи ну«К». М о ж но о це ни ть пр е д е лы и зме не ни я «К», выб и р ая д ля все х эле ме нто в
«х у д ш и е » значе ни я. Н о пр и сло ж но й ф у нкци и (1) тр у д но по нять како й наб о р значе ни й
эле ме нто в б у д е т наи х у
д ш и м. Кр о ме то го , ко гд а эле ме нто в мно го о це нка о каж е тся су щ е стве нно
завыш е нно й, и б о мало ве р о ятно , что б ы на само м д е ле все эле ме нты б ыли х у д ш и ми . П о это му
