Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 10 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
1.2. Прямой метод Ляпунова
Речь пойдет об одном методе исследования на устойчивость, который может быть интер-
претирован с чисто физических позиций. Полная энергия физической системы в состоя-
нии устойчивого равновесия должна иметь минимум. Например, полная энергия частицы
массы m, совершающей упругие колебания с коэффициентом упругости k вдоль оси x
около нуля равна
E =
mx
02
2
+
kx
2
2
.
Дифференциальное уравнение движения такой частицы имеет вид
mx
00
+ cx
0
+ kx = 0 ,
где член cx
0
представляет сопротивление движению, вызванное трением, при этом c > 0.
Дифференцируя E и используя уравнение движения, найдем
E
0
= mx
0
x
00
+ kxx
0
= x
0
(mx
00
+ kx) = −cx
02
6 0 .
Это означает, что энергия убывает с течением времени. Но энергия является ограничен-
ной с низу (не отрицательной), следовательно, существует точная нижняя грань значений
E, равная в данном случае нулю, что достигается, когда система останавливается в по-
ложении x = 0. Это означает, что решение x = 0 является асимптотически устойчивым.
Идея метода Ляпунова в отношении уравнения
y
0
= f(x, y) , (1.14)
— найти функцию V (x, y ), которая ведет себя как энергия системы.
Определение 1.8. Функция V (x, y) называется положительно определенной относи-
тельно y, если
1. V — непрерывна,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
