Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 12 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Но по предположению V на траекториях решений является невозрастающей функцией,
так что имеем также
V (x, y(x)) 6 V (0, b) < ϕ(ε) .
Полученное противоречие означает, что решение y при всех x остается по норме меньше
ε.
Теорема 1.10. Пусть в условиях теоремы 1.9 производная V
0
является отрицательно
определенной. Тогда решение y = 0 является асимптотически устойчивым.
Доказательство. По условиям теоремы имеют место неравенства
V (x, y) > ϕ(kyk) , V
0
(x, y) < −ψ(kyk) ,
где функции ϕ и ψ непрерывны, возрастают и в нуле равны нулю. Если асимптоти-
ческой устойчивости нулевого решения нет, то в силу устойчивости нулевого решения
по Ляпунову должна существовать положительная константа ρ такая, что имеет место
неравенство
ky(x)k > ρ > 0 .
Тогда
V (x, y(x)) > ϕ(ρ) > 0 , V
0
(x, y(x)) < −ψ(ρ) < 0 .
Но интегрирование второго неравенства ведет к оценке
V (x, y(x)) 6 V (0, y(0)) − xψ(ρ)
и, следовательно, при достаточно больших x функция V становится отрицательной, про-
тиворечие.
Слабость метода Ляпунова состоит в том, что нет общей техники построения функции
V — функции Ляпунова.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
